巧用面积解题（面积法解题）

提要 面积法是运用几何图形（主要是三角形）的面积公式以及面积的基本性质（指面积的唯一性，可加性，可比性，异形等积性）来解决几何问题的方法某些条件与结论中似乎与面积无关的问题用面积法处理，比用其他方法来处理更显得简单方便，下面我们就来说一说关于巧用面积解题?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

巧用面积解题

提要

面积法是运用几何图形（主要是三角形）的面积公式以及面积的基本性质（指面积的唯一性，可加性，可比性，异形等积性）来解决几何问题的方法。某些条件与结论中似乎与面积无关的问题用面积法处理，比用其他方法来处理更显得简单方便。

知识全解

一．面积法的概念

我们把根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关计算面积的公式，定理或图形的面积进行解题的方法称为面积法。运用面积法解题具有直观，简便，灵活，新颖等特点。

熟练掌握三角形等基本图形的面积公式是运用面积法的关键。

二．面积法解题的常用方法和技巧

（1）直接法：根据面积公式和性质进行运算或推理实现解题的方法。

（2）等积法：根据面积的等积性质进行转化获得解题的方法，常用的有同底等高，同高等底和全等的等积转化。

（3）割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题。

（4）代数法

（5）构造特殊图形法；整体与局部结合的思想等方法。其常用的方法有：1.同一图形的面积用几个不同式子表示；2.面积相等；3.一个图形的面积等于几个分图形面积的和。

学法指导

类型1 利用等积关系证明几何命题

例1 已知□ABCD，点E是BC边上一点，F为AB边上一点，且AE=CF，AE与CF交于G，连接DG。求证：∠DGA=∠GGC

又∵AE=CF

∴AE,CF上相应的高相等，即D到FC,AE的距离相等。

∴DG是∠AGC的平分线，即∠DGA=∠DGC

【点评】解答本题的关键是证明点D到FC,AE的距离相等，而AE=CF，故只需证明△ADE与△CDF的面积相等。

类型2 利用面积的和差共线证明几何命题

例2 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC,BG⊥AC，垂足分别为E，F，G，求证：DE DF=BG

又∵AB=AC

∴BG=DE DF

【点评】本题若用三角形全等来证，显然比较复杂。若从面积考虑，连接AD，将△ABC分成两个三角形△ABD和△ACD，而这两个三角形的面积表达式都容易求得，解答非常容易。

类型3 利用面积的比例关系证明几何命题

【点评】本题抓住“等高的三角形面积之比等于底的比”来证，相当简便。

链接中考

考点1 利用面积法求解三角形问题

例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90度，AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB上的高。

即5×12=13CD

∴CD=60/13 cm

因此，斜边AB上的高为60/13 cm

【点评】直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，也可以等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。

考点2 利用面积法求解函数问题

例2 如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在BC边上运动，连接AE，过点D作DF⊥AE，，垂足为F，设AE=x，DF=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是（）

∴xy=12

∴y=12/x

又∵在△ABE中，3≤AE≤5

∴3≤x≤5

故选C

【点评】通过观察发现，点E在BC上运动时，△ADE的面积没有发生变化，因而根据三角形的面积公式，可找出底与高之间的关系。当然本题也可以通过相似的方法予以解决。