初中数学学习资料集（数学学习之一初中篇）

第一部分 学习过程回顾

最近，一直想把我和娃的这段数学学习经历写下来，

因为不时有家长来问数学怎么学，

因为最近的情况终于证明了我两年前彻底放弃XES课程的决定非常正确✅，证明了这两年为娃选择培养分析能力的学习道路非常正确✅，

我们的两段经历在学生中很有共性：

一是四年级我选择某机构让娃去学习数学，认为专业的事交给专业的人，把孩子送进机构就能学到东西，比我这个非师范专业、非在职老师教得好，结果事与愿违，

二是娃在学习几何中遇到的困境也有普遍性，数学上娃真的没有太好的天赋（天赋=具有竞赛能力），

因为努力学习的过程可以参考，提升能力的方法可以借鉴。如果只是天赋，那没啥可说的了。[再见]

错误的开端

四年级，我对娃的课外辅导的重心从英语转向数学。

自负的我决定亲自上阵，然而那些妖出天际的C卷小奥题目我居然搞不定[吐血]。幸亏自己毕业得早，要不然搁现在，我岂不是小学都毕不了业了？

我终于承认自己的智商和水平都有限，怎么办？“专业的事情交给专业的人”，机构肯定比我专业嘛。于是，我选择了最大的机构XES，水平一般的娃进了勤思班。

钱交了，课上了，时间花了，精力花了，应该是孩子学业有成，家长从此解放，皆大欢喜的结果吧。想想都觉得这钱花得值得[耶]。对吧，我相信很多家长都是这么觉得的。

事实很快把我的脸打得稀烂[打脸]。这段XES的学习是我教育孩子过程中最最后悔的决定，犯过的最大错误和走过的最大弯路。

崩溃和反思

刚进初中，有一天，我拿了一道数学题给娃。娃看了一眼，说：“似曾相识，但是公式记不得了，所以我不会做。”（这种情况我听不少送娃去机构上课的家长也说过）闻听此言，我心中被巨大的恐惧包围，几乎要晕倒在地[震惊]！

天哪，如果一年多的XES数学学习，得到的结果是：做题=套公式，那以后数学乃至所有的理科学习，娃的路只会越走越窄，最终彻底进入死胡同[石化]！

问娃原因，他说：一百多人的网课，老师按照既定的节奏走，某些地方跟不上。那不上直播课，回看，我全程坐在旁边，在需要的地方：推导公式，解释公式适用范围，或者在他不理解的地方答疑。只用XES的体系和内容，不跟它的课堂。有一点效果，但是并不是很好。

然后双减来了，我当机立断，全部停了❌‬。

研究了XES的教学，我发现娃问题的源头——公式。数学学习肯定离不开公式，但是我强烈反对XES把题目细分为那么多题型，配备出那么多公式。

我告诉娃：“小奥的题目只分两类，能用方程（建模）解决的（例如鸡兔同笼和抽屉问题）和不能用方程解决的（例如数图形）。

XES的教学方式就像一个外国厨师‍，应对各种食材，配备十几把不同类型的刀具，切菜的菜刀，剁骨头的砍刀，切水果的水果刀，雕花的小刀，林林种种，不堪重负。

外国厨师的武器 VS 中国厨师的武器

你要成为一名中国厨师‍，行走江湖，随身只佩一把刀[刀]——分析能力，砍瓜切菜，雕花造型，全靠它了。即使今天你遇到一个从未见过的水果[what]，也要凭着经验，观察分析，摸索一下，循着水果‘去皮去核吃肉’的大致规律，用你的刀，把它分解了，吃下肚去。”

孩子非常同意我的观点，例如相似三角形的蝴蝶模型、沙漏⏳模型、金字塔模型，这么多，娃就从来没搞明白过。我们开始走自己的道路。

转变思路

我再次亲自上阵，目标：纠正数学解题思路——从套公式转变为培养分析能力，最近的课外时间全部用在这件事情上，其他科目跟上校内进度即可。我给娃打好预防针：做好打硬仗的准备，做好长时间作战的准备，时间大约是一年，开始肯定会比较痛苦。

解题的三个境界：我不知道套路，我不会做；我知道套路，我会做；我没有套路，我会做。你现在第一和第二境界之间。

公式可以用，但只用课本上最基础的公式，没有完全掌握、一知半解的公式一律不许用。每遇到比较复杂的题目，我就一遍遍地教娃如何以公式为基础，分析为工具，解答题目。具体问题具体分析（马克思主义活的灵魂，放之四海而皆准的哲学原则），用来解题同样适用。

六上娃的数学成绩一直属于中上，历次测验都在90 ，偶尔有80 ，没有一次满分。每次看到班上都有四、五个学生满分，完全不焦虑是不可能的。但是，我知道，这条路必须坚持，这痛苦必须经历，暂时把拳头缩回来是为了打出去的时候更有力。

六上期末全区统考，娃成为年级里数学唯二的满分。尤其是压轴题（圆在长方形外面滚），与平时常见的题目（圆在长方形里面滚）不同，他做对了，说明初步具备一定的分析能力。原定一年的目标提前实现[小鼓掌]！他的自信心得到提升，在我的带领下，我们将这道题目做了讲解视频，（链接：一个圆滚出的思考）并总结一些数学学习体会。

我仿佛看到一位身着长衫的翩翩少年，手持一把中式菜刀，在题海中悠然自得，游刃有余。

然而，我尚未来得及品尝初步胜利的喜悦，立即被几何这块从天而降的巨大陨石砸得满地找牙，几近崩溃[流泪]。

几何困境

六年级的时候，娃听到七、八年级的同学抱怨几何怎么怎么难，就有些好奇，想看看这货能如何为难自己。我们开始预习全等三角形，依然是那本御用教材《一课一练》，顿时被“炼”得外焦里嫩。

之前的预习，我讲完课本，娃做习题，基本上没有遇到什么困难，习惯了如履平地的EASY模式，现在居然一半的题目做不出来！是教辅题目突变了还是娃的智商突变了[抓狂]？

崩溃中，我们向数学C老师求救。老师回复：预习遇到困难是正常的，那就带着问题课上再听老师讲解嘛。好吧，敢情之前我们都是不正常的，这回正常了，我们反倒不适应不了。老师说了几何确实是学习难点，需要多看多练，慢慢找规律。

后来看了一位多年数学教学经验的老师的公众号文章，说几何学习遇到困难是正常的，做不出的可以先抄写标答，分析自己的思路与标答之间的差距，在学习中多积累提高。还有一点非常重要：千万不要死磕，如果一道题20分钟内拿不下来，今天就放弃，以后再说。好吧，让我们心态放平，接受现实，慢慢来吧。

几何的特点就是：

一个字：活；

两个字：很活；

三个字：非常活。[跪了]

之前代数题目都是从已知条件到结论的顺势思维。

几何需要较高的分析能力和综合能力。

给你12345个已知条件，有时顺证：先选择12得出结论一，再结合3，得出结论二，45得出结论三，结论二三结合得出最后结果；

有时逆推：最终结果倒推结论一二三，再倒推条件12345；

有时顺逆结合：条件和结论在结论2，3处成功汇合，就是两头夹击的模式。

有时候看似有好多条件，无从下手；

有时候看起来条条大路通罗马，结果每一条路的尽头都是死胡同；

有时候感觉自己已经无限接近结论，就是有个死结绕不过去。

各种崩溃，世界上最远的距离就是我和求证结论只差一步之遥[吐血]。我想很多同学都遇到过这样的时刻。

那时候娃看到几何题，只能是第一眼美女：看一下[做鬼脸]，能做出来就做，做不出就扔下，能离多远离多远，最好永远不再相见[不看]。

想不到吧，别人看似的学霸君也有被折磨得这么惨的时候。我一度以为几何将是他数学学习上的一个跨越不了的薄弱环节。

积累与提高

初一，我让娃跟着学校老师好好学几何。学校开展分层教学，娃说Z老师的几何讲得极好，幸好校内的题目没有怎么为难我们。老师教授一些方法，娃也会自己去网上看一下教学视频，学习如何有效添加辅助线，总结方法，积累经验。

初二的数学D老师常常鼓励学生在课堂上自己讲题。我非常赞成这种教学形式，传统的教学模式，学生处于被动的接收状态，被输入状态。但是讲题需要对题目有完全的了解和掌握，是一种知识的输出状态，是主动学习的状态。随着讲题次数的增加和老师的正向反馈的增多，他对几何的兴趣越来越强烈。

2022年的数学中考题目新鲜出炉，我们立刻拿来练手，25题娃没有解出来，我做出来了。娃成功攻克18、24题也给了他自信。

实现突破

我找到了一份哈尔滨中考数学压轴题的资料，那些几何题看着都眼晕，用娃的话来说就是出题老师拿个激光笔来回反射形成的图像[晕]。

哈尔滨2021年中考数学题

我们拿了2020年这个最简单的年份来练手，我想了两天没想出来。两个月后的一个周末，娃突发奇想，再尝试一下，20分钟过去了，居然成功拿下！这种狂喜真的无法形容！这是进入初中后，我和娃感到最快乐的一天，我为娃的挑战精神和坚持努力感到骄傲！我也特别特别高兴地看到娃的几何分析能力已然超越了我。

2020年哈尔滨中考数学25题

平静下来，娃自己做了讲解视频，相比解题部分，思考与总结部分才是精华所在[赞]。（链接：2020年哈尔滨中考25题解析与思考）

这次成功极大地鼓舞了他的信心，增强了兴趣，另一门理科学习的痴迷状态在几何学习上再现了。娃看到几何题目就想尝试一下，不成功没关系，放放，过两天再来。能攻下的题目越来越多，娃也逐渐体会到类似打游戏打怪升级、过关斩将的成就感，乐此不疲。（有点不可思议）

娃说现在做题感觉自己就是那个中国厨子，只携带了一把名叫“分析”的菜刀，用它抽丝剥茧，层层推进，所向披靡。很多时候就是那一瞬间的灵感闪现[灵光一闪]，辅助线划在这，说不出原因，就是直觉，但常常就是对了。

解题的三个境界：我不知道套路，我不会做；我知道套路，我会做；我没有套路，我会做。恭喜，亲爱的娃，你已经接近第三境界了。

到这里，我知道这回是真的有了，目标明确，路径最短，到达目的地只是时间问题；兴趣有了，方法对了，成绩只是副产物而已。

第二部分 常见问答Q&A

1.教辅怎么选，题目怎么刷

这个估计是提问频率最高的问题了。常常在家长群里有人问哪个教辅好，难易程度怎么排？

亲，亲，因材施教是教育第一原则，选择哪本教辅，哪个难度，难道不是应该根据自家娃的实际水平和情况来决定么？娃都明白这适用童话“小马过河”原理。如果有人说小蓝本简单，如果你家娃校内还没整明白，买一套小蓝本回去刷就OK了吗？教辅没有绝对的好不好，难不难，只有适合不适合。

同样，很多家长问提早多久开始学物理，学化学？什么时候刷二模，刷一模？如果学得早就是学得好，那刚出生我们就来学习量子物理，好不好啊。如果没有把所有知识点学懂学透，刷嫩模也没有用啊！

我家的数学教辅就是《一课一练》，预习用，可能有人觉得不可能。我开始也觉得有点不科学哈。后来我看到一位数学老师说：题目也不是做得越多越好，适合自己的量才是最好的。顿时，醍醐灌顶。

比如学霸分成三种：

天赋型：天赋异禀，达到竞赛水平；

能力型：接受力、理解力和自学能力强，达不到竞赛水平，校内靠前；

勤奋型：能力尚可，特别努力，成绩稳定靠前

那么，同样达到100分，最佳的练习量：天赋型学生10道题，能力型20道，勤奋型50道。让天赋型学生在10题后再做相同难度的40题，对成绩提升的帮助不大，甚至可能产生厌烦情绪，属于无效练习。

一门功课，教辅一般只需两本即可，一本基础，一本提高，如果能把所有知识点吃透，肯定够了；如果能辅以很好的反思和总结，提升就更快。教辅买来是为了用，不是为了积灰和装饰。

所以，不要问别人要答案，最好的答案需要自己去寻找。

2.要不要去机构上课

机构可以成为校内教学的补充，一种是提高，就是孩子校内吃不饱，要拔高一些，要抢跑一步，家长有要求却没能力辅导；还有一种是补差，校内成绩不佳，希望通过补课提高分数。

后一种情况如果是因为该课程的校内老师水平太差（其实这种情况很少见），导致了成绩的不理想，可以去校外找“名师”。

但如果不是，那就请先去找找别的原因。校内是正餐，补课是零食。正餐吸收不好，肯定是肠胃有问题，狂吃零食也是无济于事。学习习惯不好如同有漏洞的水桶，往里面加再多的水也装不满，只是徒劳地浪费水费而已。

我家娃只跟校内，所以不敢说有竞赛实力的孩子是否能从机构获得提高；我家娃只上过XES，所以下面的结论只针对我接触过的XES数学教学。

①三个小时，中间只有两个10分钟的休息，这么长的时间要集中注意力来听课，成年人都很难做到，怎么能要求天性活泼的孩子坐得住呢？

②三个小时内教授的知识内容多，难度跨度大，从基本原理到基础习题，最后到竞赛难度，水平一般的孩子根本来不及吸收和消化。

③填鸭式教学模式害人不浅。只给公式，不细讲公式来源，推导过程，适用范围，各种变式。过分细分题型，每一种情况对应一种公式，看似覆盖了很多题型。孩子只能囫囵吞枣，只会简单机械地套公式，稍有变化，直接傻眼。

④因为某些规定，课后习题不能多给，但是理科的学习，一定量的练习是掌握知识的必经途径。没有练习，何谈理解、巩固和举一反三。

⑤网课往往动辄一百多人，老师按照既定的教案走，学生肯定存在疑点、难点，无法得到及时解答，授课效果不理想，体验较差。老师都是照本宣科，批量生产，没有自己的灵魂和特点。

⑥解题不规范，很多孩子校内会因跳步扣掉过程分，非常可惜。

⑦不注重培养能力。因为提高能力耗时耗力，还未必见效。如果XES和我一样，需要花一、两年的时间才能见效，那么付钱的家长要么投诉，要么跑光光。

因为要赚钱，必须在最短的时间内讲最多的内容；

因为要赚钱，必须要见效快，套公式可以让孩子看起来短时间内会做很多题目，才能让家长心甘情愿地续费；

因为要赚钱，所以必须用尽量少的老师教尽量多的学生，效果没那么重要；

因为要赚钱，能力培养这种费事费力的事情绝对不会做的。

这是我的观点，估计，或许，大约，可能，大多数家长是不赞成的。

3.怎样让孩子管好自己的学习

很多家长抱怨孩子作业拖拉，学习不上心，不主动。

那就让孩子成为学习的主人，自己的事自己做主，自己负责。

一、二年级形成良好的作业习惯。三年级开始，我只负责签字，作业做不做，对不对，娃自己负责。少了错了老师会找他，自己去订正。娃平时自己不会检查作业，考试时怎么有可能发现和纠正错误。作业全对的虚假繁荣毫无意义。

作业快慢与孩子的注意力、时间安排、个人性格、能力有关。家长要管注嘴，不打扰孩子作业，家长牌课外作业严禁层层加码。

考试之前我会问：“你自己觉得复习好了吗？需要我的帮助吗？”如果娃说自己复习好了，不用我管，那我就不管。经常考试前休息三天，他就整整玩三天。那我也按住百爪挠心的感觉[发怒]，用胶带封住自己的嘴[闭嘴]，克制住暴揍娃的冲动[敲打]。最终成绩出来好不好，自己负责。考好了，自己总结成功经验，考砸了，自己吸取失败教训。

很多家长会说：“那不行，孩子肯定会搞砸的，会完蛋的。”你不在代价最小的时候让他试错，怎么可能在该放手的时候顺利放手？

小学期间家长步步紧跟，“盯关跟”。到了初中，再遇上青春期，想放不敢放，想管管不住，难上加难，难死了。

4.数学学习有没有捷径

不可否认，浮躁和急功近利是这个时代的特点。

哪哪都想走捷径，学习也是。买学区房，托人进好学校，是不是捷径？今年有偷盗中考考卷的，是不是捷径？在机构上课，利用外挂多练几把，好到学校里虐其他人，是不是捷径？

有时错误的方法暂时能得到一个正向的结果，这正是错误的迷惑性所在。最终还是自食其果。

比如：本应作为拐杖或者学步车，承担辅助行走功能的机构，在金钱和功利的刺激下，转变成轮椅，看似推着走比自己学走路速度更快。长期使用，极易造成下肢肌无力，离开轮椅，丧失独立行走功能。

激发原动力，培养对知识的兴趣、逻辑思维能力和自学能力，如同攀崖之于登山，看似难度极高，几乎不可行，但却是两点之间接近直线的最短线路，全凭自己的力量。

看似最难的路其实是捷径，看似最‬方便‬的捷径却是最远的路。

5.如何激发内在原动力

不少家长知道“激发原动力”，但又非常迷惑，这个说法听起虚无缥缈，操作起来无从下手。这是一个系统工程，可以写一个专题，一本书。这里只谈我认为最重的重点。

摒弃所有奖励和惩罚等来自外来因素，摒弃一切盲目跟风和攀比，专注培养兴趣和热爱引发的内在原动力，专注体验来自挑战和进步引发的自豪感和幸福感。（娃觉得这句话写的特别好，是现在最真实的写照。）这是娃小学一年级开始我一直秉承的理念。以排名为导向的考试加剧了学习的外在竞争，忽略了自身进步带来成就感的体验。

让孩子插上理想的翅膀，自发的理想，就是携带核动力的发动机。有明确自带目标的孩子，学习的劲头和状态与被家长和老师推着向前走的孩子是完全不同的。

学习是一生的事业，以后的学习之路必然荆棘密布，娃如果带着学习的热爱，知识的渴望，成为最好的自己的目标，才能披荆斩棘，一路向前。

最近有个小学生的妈妈问：“学校里数学题目，类似四位数除以两位数，然后抠去几个数字，要补全。孩子做不出，回家急得直哭。怎么办呢？”

娃听了，淡然地说：“直接撕掉吧。小学这种题目不会做没关系，只要把校内刷到极致，那些小奥题目不影响你进四校，也不影响你进清北。”哈哈，果然是我培养出来的娃。我向他投去赞同的目光[机智]。我们相视而笑，默契的一笑。

最近，娃常说感谢我六年级把他从错误的道路上拉回来，庆幸有我这么一位有眼力，有魄力，有能力的妈妈，我也庆幸有这么一位爱学习，肯学习，会学习的娃。

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