由一个物件想到一个人 由一个题想到的

昨天有学生问我一道题：在实数范围内解方程组：

课间休息时并没有做出来，但我却记得自己做过类似的一个题，不过下面不是5次方，是立方：

这个题要简单点，我们先说这个题，由二项式定理(即杨辉三角，可参见前面文章——从二项式定理到多项式定理)

可知：

利用这个公式经过适当的配凑，可以解出 xy ,从而解出方程：

又由二项式定理知：

用这个公式经过适当配凑仍能在第一个题中解出 xy ,从而解出方程：

当然也可以用和差换元来解这两个题：

另外还有一个题也有点相似，在实数范围内求值：

眼力好的人应该可以看出，这个题就是上面第二个方程组换了个方式再出现。

上面题目的解题过程中用到了立方差公式:

相应的还有立方和公式：

立方和、立方差公式实际上都来自下述公式：

例如，还可以有：

前面解方程我们有强调在实数范围内求解，因为如果在复数范围内，根据代数基本定理， n 次方程一定有 n 个根(算上重根)。

在复平面中复数可以写作三角形式: (r为 z 的模长, θ 为辐角)，根据棣莫弗公式，两个复数相乘等于模长相乘，角度相加(可参见前面文章——虚数的意义)。这样我们还可以得到：

若则 ,反过来我们就可以给任意复数开 n 次方：

若则

共 n 个根。

下面举个简单例子：

当然在复数范围内，一元二次方程 Δ<0 时也是有解的：

方程 ，当 Δ<0 时：

上面解方程组，其实我们用了构造配凑的思想，数学中有一些十分巧妙的构造，例如解方程常用的“和差对偶构造”，三角函数中常用的“互余对偶构造”，复数中的“单位化共轭构造”等，我们举一例来说明：

上面方法二便是“单位化共轭构造”，对这个题来说这个方法绕了点，但却能从中领悟领悟数学的奇妙。

当然我们也能用“互余对偶构造”来解这个题，如下：

最后来看个“和差对偶构造”的例子：

解方程：

今天就先说到这，数学就是这样，有时我们做一个题就能勾起自己以往遇到的其他同类的题，放在一起我们又会得到一些新的思考，虽然很多与当前的这个题目已无太大关系，然而做数学题我们并不能只是关心当前的答案，当你兜了一大圈子而又最终形成逻辑的闭环，你会陡然惊叹于数学的神奇，这大概就是数学的奥妙吧。