三角形和平行四边形讲解（空间角这样求最简单）

空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。尤其是理科同学务必注意！空间角是线线角、线面角、面面角的总称。其取值范围分别是：0°< q ≤90°、0°≤ q ≤90°、0°< q ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。

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异面直线所成的角

例1、

思路一、菱形对角线互相垂直，所以可以利用向量法求解，其中，以BD为x轴，CF为y轴，以垂直于面BCD且垂足在点F处的向量为z轴，这里需要注意的是，因为翻折过程中面ABD是不断变化的，所以z轴不好找，也顺带着点E的坐标不好找；

思路二、利用几何的方法，先进行平移，找到空间角的平面角，点F是中点，再找线段ED中点，连接之后，与线段CF的夹角即为所求！

（由于今天时间比较紧，所以答案解析是手写的）

解法一、

解法二、

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直线和平面所成的角

斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l与平面α所成的角，为直线l的方向向量与平面α的法向量之间的夹角，则有或（图1）

图1

特别地时，，；时，，或。

评析：因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。

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二面角的求法

1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：

①直接利用定义，图3（1）。

②利用三垂线定理及其逆定理，图3（2）最常用。

③作棱的垂面，图3（3）。

图3

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角；

2．向量法：①从平面的法向量考虑，设 分别为平面的法向量，二面角的大小为θ，向量 的夹角为，则有或 （图4）

图4

②如果AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。

例3

小结

1、空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解。平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况。

2、几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。

3、向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化。主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算。

本文根据周多民老师整理的文档改编而成，例题更接近近年高考。