3个3分之一和3个0.33循环相等吗（都知道三分之一等于0.3无限循环）

朋友问我：三分之一等于0.3无限循环，为什么三分之一乘3等于1，而0.3无限循环乘以3等于0.9无限循环？瞬间懵了一下，这个问题自己还真没想过。为什么会出现这样的差异呢？有兴趣的朋友一起探讨下：

不奇怪。从数学的极限角度来讲：三分之一等于0.3无限循环,因此1也等于0.9无限循环。但是，用静止和运动的观点来看这个问题：其实三分之一是大于0.3无限循环的，因为1/3是个静止数，而0.3无限循环是个运动数，它是无限接近1/3的，但就是比1/3小那么一点，因此1也是大于0.9无限循环的。

1=0.99无限循环，证明如下：

方法一:设 0.99999.......=X，得 方程一 0.99999.......=X，再由 方程一×10，得方程二 9.99999.......=10X，用方程二 减去 方程一，得到 9=9X ，简化后得到 1=X，证得 1=0.99999.........

方法二：你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

方法三：可以用极限来做。等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。

由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10 a/100 a/1000 a/10000 ……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

方法四: 可以用一种笨方法，列算式 1=1，这个算式可分解为:(0.9 0.1)=1，再分解为

(0.9 0.09 0.01)=1，再分解为(0.9 0.09 0.009 0.001)=1，再分解为(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001)=1，再分解为(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.00001)=1，再分解为(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.000001)=1，再分解为(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.0000009 0.0000001)=1，经过无穷次分解这后得到(0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00009 0.000009 0.0000009 ........)=1把括号里的数加起来就得到0.9999999..........=1

学识浅薄，还请高人指点。