轻绳与轻杆问题（轻绳与轻杆问题）

今天我是有备而来的【出示道具】，我决定向刘谦学习，变个魔术。

水平面内的匀速圆周运动最关键的是找到什么？向心力的来源。它比较简单，是速度大小始终不变的圆周运动；今天将接触到的是竖直面内的圆周运动。比方说坐过山车，上来和下去，速度的大小是不是一直在变化呀？它是一种变速圆周运动。

竖直面内的圆周运动是变速运动，速度v的大小时刻变化（运动），合外力并没有完全提供向心力（受力）：一部分沿着径向提供向心力维持圆周运动的形态；另一部分沿着速度所在的切线方向改变速度的大小。所以合力指向圆心吗？合外力不指向圆心，问题就会非常复杂。为了简化问题，只选择运动过程中的两个特殊位置——“最高点”和“最低点”进行分析。

“轻绳模型”。绳，我们都知道它是软的（提线木偶，速度太小木偶会脱离控制），它的特点是：只能提供沿绳方向的拉力，能不能提供支持力呢？不能。用细绳拴着一个物体，以绳子的旋转点作为原点，以绳长为半径在竖直面内做圆周运动。通过受力分析，发现这个变速圆周运动的大部分位置，合外力都不是指向圆心的。但是物体运动到最高点和最低点这两个位置时，受到的合外力刚好指向圆心，为什么？这个小球在最高点受重力作用，另外假如绳子有弹力，绳子只能发生拉伸而不能压缩，所以绳子如果对小球有力的作用那也是什么力呢？指向圆心的拉力作用；在最低点它的重力还是竖直向下的不变，绳子给它的拉力还是指向圆心。所以在最高点和最低点，物体所受的合外力完全提供了向心力，这就使问题极大的简化了。

在绳模型中，最高点和最低点有什么样的特征？

在最低点，物体受竖直向下的重力、绳的拉力。它所需要的向心力等于绳子的拉力减去物体的重力，得，绳子在最低点的拉力大小：.绳子的拉力是大于重力的，所以地震时天花板上的吊灯为什么容易掉下来？就是因为它在摆动的时候属于圆周的一部分，哪一位置？最低点的位置。如果已知绳子的最大承受力为T2，物体要想做完整的圆周运动，最大速度就不能超过

。

设竖直向下为正方向，最高点的拉力和重力都是指向圆心的，向心力表达式为：Fn=mg T

，推出：，由此得到绳子在最高点的拉力大小：

。思考：速度v1和绳子拉力T怎样的大小关系？这个速度越小，绳子的拉力是不是越小？那速度能不能小到一个值V0时，拉力刚好为0？这个值为，此时向心力是不是完全由重力提供？再问你一个问题：速度还可不可以继续比这个V0小？不能比V0更小了，如果比它更小，拉力是不是负值？规定的正方向向下，负值意味着绳中的力方向向上了，成支持力了，这是不符合绳子的特点的。也就是说在绳模型中最高点速度要满足：v≥v0，叫做“临界速度”。考试的时候它会怎么提醒你呢？“小球恰好通过最高点”，对这句话你做怎样的翻译？这个话对于考试而言是一个核心信息，意味着小球在最高点的速度就是，这一点非常关键。有同学喜欢打破砂锅问到底，他问如果在最高点会怎样？请看【纸杯轻甩演示】，就是这个意思，上不去。如果速度达到最大值的话，

这肯定是超过了。这就再一次印证了条件:v≥v0。

整个圆周运动的速度是

拓展一下，小球在内环中转，叫做“圆轨道”模型，其实也是绳模型。它们的共同点是什么？在最高点无支撑。 “飞车走壁”以及“过山车”都是它的应用。坐过山车通过最高点用不用系安全带呢？理论上是不需要的。但我们也不要以身试险，为科学献身了，找一个替代物来试试啊——“水流星”。它的速度如果小于临界速度，结果只有一个——“啪”就掉下来了。【纸杯中的水流星】考察一下它的水会不会流？有危险性啊！这个动作。这实际上就属于我也会表演魔术了。没事，转过n多遍了这个【停下来：在线等，挺急的！】水为什么流不出来？因为它的速度达到了，重力充当了圆周的向心力；其实绕的越快它越没事。因为绕的越快，需要杯底给它一个压力，重力和压力的合力充当了向心力。

所以，到最高点到底用不用系安全带呢？不用哈，但是物理老师建议可以买一份保险——人寿的。说到这儿想到一道高考题，拿针给水杯戳个洞，水就流出来了；但是如果让杯子自由落体，水就不往外流，这是为什么呢？完全失重。

“轻杆模型”。杆不同于绳的特点就是它是硬的（指挥棒，指到哪里运动到哪里）、能够被压缩，它既可以把物体拉回来也可以给物体提供支持力。常见的“悠单杠”就属于轻杆模型。杆的一端固定在O点可以自由转动，另一端连接小球，这个小球以O点为圆心，以杆长r为半径在竖直面内做圆周运动。由于杆可以发生任意方向的形变，即可以提供各个方向的力，所以与杆连接的小球在特定的条件下是可以做匀速圆周运动的。仍然研究最高点和最低点，分析其受力，在最低点：物体受竖直向下的重力、杆的拉力。向心力等于杆的拉力减去物体的重力，得到，此得到杆在最低点的拉力大小：，它和绳在最低点的受力一样不一样？完全一样，绳或杆的拉力就等于重力加向心力，速度越大，拉力就越大。

下面看最高点。设竖直向下为正方向。最高点合力也是完全提供向心力，Fn=mg F1，推出：，得到杆在最高点的弹力大小：.思考：这个时候对小球的运动速度有限制没有？仿照绳模型。若，则F1=0，说明此时重力完全提供向心力，杆对小球没有力的作用；若，F1>0，杆对小球有拉力作用；若，F1<0，杆对小球提供向上的支持力；若，F1=-mg，与重力处于二力平衡态；若，小球无法到达最高点，反方向退回了。现在你发现：杆和绳一样吗？不一样。哪儿不一样？最高点不一样。最高点的临界最小速度是0.

整个圆周运动的速度是

杆模型拓展：把圆管弯成圆环，它也是杆模型，叫做“圆管道”模型。它最突出的特征是什么？在最高点对物体有支撑。给定速度大小，问：小球挤压圆管道的内轨还是外轨？

审题要看清：第一，研究的是杆模型还是绳模型；第二，研究的是最高点还是最低点。

• 特殊

确定研究对象；确定正方向；牛顿第三定律

杆旋转有可能匀速，此时合力必然提供向心力；杆的形变是任意的。

让球永远在轨道上运动，且不通过最高点：不能使其超过1/4圆的位置。