量子力学矩阵特征值怎么求（协建矩阵力学奠基量子论）

在量子江湖，若是按地域分，哥本哈根的玻尔、慕尼黑的索末菲和哥廷根的玻恩可谓是三大巨头。论起对量子力学贡献，玻恩甚至被人认为是量子力学的真正奠基人。

此外，玻恩还有一个特别的贡献：对中国物理学家们的巨大影响。

Max Born（图源：mediatheque.lindau-nobel.org）

撰文 | 张天蓉

当年的量子江湖上派别林立人物众多，如果就地域而言有三大巨头：哥本哈根的玻尔、慕尼黑的索末菲和哥廷根的玻恩。

Max Born（图源：wikipedia）

矩阵力学奠基新量子论

其实有人认为，玻恩才是量子力学的真正奠基人。这句话不无道理，首先，是玻恩在1924年的文章里呼唤新量子论的出现。其次，量子力学（新量子论）最早开始于矩阵力学，而不是薛定谔方程。玻恩在矩阵力学的建立中起了关键的作用。再则，薛定谔方程与矩阵力学是等价的，无论是方程解出的波函数，还是矩阵算符，都需要解释其物理意义。最能被人接受的解释是玻恩提出的概率解释。

三大巨头有他们各自的擅长之处。

玻尔研究所中年轻人多，朝气勃勃，无条条框框，最能接受新的哲学思想，可被称为革命派。毫无疑问，创立新量子力学理论需要革命派。开尔文爵士在祝贺玻尔1913年建立氢原子模型时的一封信中承认，玻尔论文中很多新东西他不能理解，开尔文有句话说得十分深刻，其大意是：基本的新物理学必将出自无拘无束的头脑！

新理论也需要像索末菲这样的物理数学皆通、首屈一指的好老师！索末菲在慕尼黑大学的物理中心，被誉为是理论物理学家的摇篮，孕育出了许多优秀的物理学家，因此，慕尼黑一派为物理帮。

而玻恩所在的哥廷根大学，以坚实的数学基础著称，则可算作数学帮。

玻恩出生于德国布雷斯劳（现在属于波兰）的一个犹太家庭。父亲是大学的解剖学教授。玻恩大学毕业后进入哥廷根大学攻读博士，在那儿结识了三名伟大的数学家：费利克斯·克莱因、大卫·希尔伯特与赫尔曼·闵可夫斯基。

在这三位数学大师指导下，玻恩得到非常好的数学训练。三位数学家中，克莱因的专长是非欧几何和群论；希尔伯特和他的学生为量子力学和广义相对论的数学基础做出了重要的贡献；闵可夫斯基是四维时空理论的创立者，知名于闵可夫斯基空间。

在哥廷根大学，年轻有为、活力四射的玻恩，很快就得到希尔伯特的赏识，被他选择为讲课时的抄录员，记录课堂笔记。这个平凡又特别的工作使得玻恩与希尔伯特有很多单独交流的机会，后来，希尔伯特成为玻恩的正式博士导师。

当玻恩1908年得知爱因斯坦的狭义相对论后，十分感兴趣。闵可夫斯基邀请他回哥廷根大学，共同研究相对论。也就是这次机会，使玻恩了解到矩阵代数，以方便处理闵可夫斯基的四维时空矩阵。但不幸闵可夫斯基突发阑尾炎去世，这次合作在短短的1个月后便中断了。

之后，1915年玻恩成为柏林大学副教授，在那儿与爱因斯坦结为密友。他们的友谊，经历了物理哲学观点的分道扬镳，以及战争动荡年代的考验，一直延续40年，有他们断断续续的几百封书信为证[1]。

玻恩对量子力学的研究是从晶体研究开始的。玻恩集中精力研究晶体结构，并把爱因斯坦的狭义相对论推广到晶体中电子的运动。

玻恩曾经与后来转向航天技术的冯·卡门合作，研究固体的比热，把量子论推广到固体比热问题。后来，玻恩应用玻尔半量子化的理论研究晶体，得出一些与实验相违背的结果，这使玻恩确信旧量子论存在严重问题，必须重建新理论。从以下玻恩给爱因斯坦几封信中的片言只语中，可以看出一点玻恩和他的团队思考研究最后建立新理论的过程。

1921年，玻恩写给爱因斯坦“量子理论，毫无希望，一团糟也”，表现他无比困惑的情绪。

1923年，玻恩在写给爱因斯坦的信中说：“一切如常，惟研究量子论，欲寻一计解氦原子也。”仍然困惑，但似乎有了研究方向。

1925年，玻恩说：“约当与我正考究经典多周期系统，欲解量子化原子间之对应关系也。今有一文将发，此文欲解非周期场问题。”看起来有了一点进展，发表了文章。

1925年7月15日：“海森堡将新发论文，望之甚秘，必然真切而深刻也！”海森堡的研究带来了希望，兴奋之心溢于言表。

1925年7、9、11月，玻恩等分别发表了“一人文章”“二人文章”“三人文章”，标志新量子论的诞生。

概率解释波函数

玻恩一帮人对量子力学的贡献巨大，但矩阵力学的运气不太好，刚一出生就碰到了薛定谔那儿蹦出来的“波动力学”这匹黑马。

尽管物理学家们一直在期待着新量子理论，但“三人数学帮”建立的矩阵力学使他们感觉讨厌，因为他们从来没见过这种东西！其实从现在我们这一代人的观点来看，矩阵运算也未必见得比微分方程更困难。

当年的爱因斯坦也是这样，尽量不接受新的、他认为颇为“古怪”的数学。矩阵和复数，在爱因斯坦那儿，不怎么受待见。例如，对爱因斯坦的狭义相对论，闵可夫斯基引入了虚值时间坐标，又将时间和空间写在一起，成为四维空间的一个整体，数学上看起来很漂亮，固然也少不了复数矩阵运算。但爱因斯坦本人却曾经感叹地说：闵可夫斯基把我的相对论弄得连我自己都看不懂了！

开始时，爱因斯坦对玻恩帮矩阵力学的反应，还是积极热情的，因为仅此一物别无他求！他在1926年3月7日给玻恩的信中表达了这点。但紧接着，新量子理论的发展令人目不暇接：薛定谔1926年接二连三发出的炮弹让物理学家们欣喜若狂：太好了！终于有了用物理学家们熟悉的方式表达的量子力学。他们认为，微分方程使用起来比矩阵更加习惯和方便。真实的原因是因为，牛顿力学和麦克斯韦方程都是用微分方程描述的。

当时，既有了矩阵力学，又有了波动方程，在表面看起来，矩阵力学是将电子当“粒子”看待，波动力学是将电子当“波动”看待，但是，薛定谔和狄拉克都证明了，两种表述在数学上是等效的。因此，实际上，量子力学的数学形式，已经包含了“波粒二象性”在内。矩阵力学外表描述粒子，将波动性隐藏其中；薛定谔方程则相反，波动性显示在外，而将粒子性隐藏起来。

无论如何，量子力学两套“纲领”的存在使得各路人马的关系逐渐变得有点微妙起来。

海森堡等的矩阵力学，课题是来自于玻恩的晶体研究，而解决问题的思想是基于爱因斯坦有关“可观测量”的概念，以及玻尔对应原理的哲学思考。最后的数学方法又是由玻恩和约尔当提供并共同完成的。后来，薛定谔方程出来之后，人们都奔它而去，求解方程，解释结果，将矩阵力学冷落在一边。

海森堡和约尔当出于年轻人的激情，自然地要为捍卫自家创造的独门功夫“矩阵力学”而战。特别是海森堡，对玻恩产生了些许不满情绪，心想：连你也去凑热闹，对人们不知如何解释的波函数提出什么“概率解释”！为此，海森堡还曾经写信给玻恩，谴责他背叛了矩阵力学。不过，这种对两种纲领不同喜好造成的分歧，很快便被另外一种分歧代替了。

大度的玻恩的确没有那种狭隘心态，他以同样欣赏的态度接受了薛定谔的理论，玻恩既承认微观客体的波动性，也坚持主张其粒子性。那么，他如何将两者统一起来呢？这就是他基于对原子系统内碰撞问题的研究而对波函数给出的几率诠释。

按照玻恩的观点，电子仍然是粒子，波函数给出的，是电子在空间某处的概率幅。概率幅的平方，决定了电子出现于空间这个点的概率。

玻恩的概率解释不被爱因斯坦接受，原来曾经支持矩阵力学的爱因斯坦很快地转向了新量子论的反面。在 1926年12月4日给玻恩的信中，爱因斯坦第一次表述了他的“上帝不掷骰子”的观念：

量子力学固可赞，而吾闻内声：其说多言，其理非真也！无使我更近自然之奥秘！无论如何，上帝不掷骰子……

对易关系和不确定性原理

玻恩这种承认新量子论内在统计随机性的理念，与普朗克、爱因斯坦、德布罗意，还有薛定谔本人的观点直接抵触，但却被哥本哈根的革命派接受，发展成为对量子力学的哥本哈根诠释。

海森堡在与玻恩等共同建立矩阵力学时，已经是哥本哈根玻尔手下的一员。受一伙年轻革命同僚的影响，积极思考如何诠释新量子论的问题。他已经不明显地抵触波动方程，转而只在自己的看家本领上下功夫，毕竟矩阵力学和薛定谔方程这两种纲领是等价的嘛。

海森堡1927年提出的不确定性原理是矩阵力学中对易关系的延伸：

[x,p]=xp-px=iħ

上面的对易关系公式，实际上是玻恩发现的，却被海森堡发展成了著名的不确定性原理。矩阵力学可以说是由三个人共同创建，而这个对易关系却只是玻恩一个人的功劳，最后的成果全部记到了海森堡名下！为此，玻恩只能默默地咽下苦水，留下遗愿让后人将这个式子刻在他的墓碑上。

总的来说，玻恩对自己的学术贡献是满意的，但他也为自己一直没有获得诺奖而抱怨过。爱因斯坦虽然不满意玻恩的概率解释，仍然于1928年提名海森堡、玻恩、约尔当三人为诺奖候选人（因创建矩阵力学）。但是不知为何，最后只有海森堡一人于1932年获奖。连海森堡自己都为此感到不安，致信玻恩表达他的遗憾，认为玻恩和约尔当的贡献不会被这个“外部的错误决定”所抹杀。

玻恩直到1954年终于因为他提出的波函数概率诠释而得到诺贝尔物理奖。

钟情于晶格动力学

晶格动力学是玻恩纵贯一生的研究领域，上面说过，矩阵力学也是从与此相关的研究课题中建立起来的。爱因斯坦曾经高度评价玻恩在晶体研究方面的工作：

玻恩和德拜是最重要的。他对晶格动力学的系统研究代表了我们对固体过程理解的巨大进展……

玻恩曾经与冯·卡门一起研究结晶学（Born-von Kármán latticemodel）。后者转变研究方向后，玻恩则因“偏爱原子理论，决心系统地建立晶格动力学理论”而继续晶体研究课题，结果成了量子力学的奠基人之一。

著名物理学家莫特认为玻恩在结晶学领域有“诺贝尔奖水平的工作”。

玻恩还有一个特别的贡献：是对中国物理学家们的巨大影响。中国著名理论物理学家彭恒武是他的博士生。玻恩的最后一本纯科学著作《晶格动力学理论》，是与当年在英国留学的中国著名物理学家黄昆合著的。该书当年在牛津出版，一直是这一领域的最权威著作之一[2]。玻恩还对其他几位中国物理学家有影响，此是后话，在此不表。

玻恩于1970年1月5日逝世，享年87岁。

参考资料

[1] 玻恩-爱因斯坦书信集 (1916-1955)作者: [德] 玻恩 (xBorn.M.) / [美] 爱因斯坦 (Einstein.A.)出版社: 上海科技教育出版社。

[2] 晶格动力学理论一（德） M.玻恩，黄昆 著 葛惟锟等译2011.6出版

来源：赛先生

编辑：小林绿子

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