法学方法论的意义（深度思考教法学法与原理）

上次女儿数学考了77分，老师要女儿带话给我们：要给老师打电话，否则第二天要处罚。于是她妈妈给数学老师打电话讲了一个多小时。说是这次考试题是上一届的期末考试题，女儿考得太差了，要求我们督促孩子的学习，并要把试卷上的题都弄懂。知识应该怎么教？又该怎么学？

我把女儿试卷看了一遍，错的第一道题是：0.5小时等于_____分钟。女儿写的是50。我一看有点生气，时间单位进制不是三年级就学过了吗？我问女儿：1小时等于多少分钟？她说60。她知道啊，我想可能是她没理解小数0.5的含义吧。就问：0.5在数量换算中表示的含义是什么？答：一半。都知道啊，怎么答错了呢？她说，考试时我想都没想就写了50。我心里说，还不是因为不熟练，理解不透彻。

于是就想着给她把小数与分数的关系挖掘一下。我又问她：0.5化成分数是多少？她说5/10。问：再化简呢？答：1/2。再问：0.3化成分数呢？答：3/10。再问：2化成分数呢？答：不知道。我又问：你把0.5化成5/ 10是怎么化出来的？她说：老师要我们看小数的位数，是一位就是10分之几，是两位就是百分之几。这不是死记的吗？

我把她的小学数学教材拿出来看，两者的概念：

分数：把一个数(或整体)平均分成若干个等份,其中的一份或几份就表示这个数的几分之一或几分之几。

小数：把整体1平均分成10份、100份、1000份……这样的几份就是十分之几、百分之几、千分之几……它们也可以用小数来表示，一位小数是0. 1，两位小数就是0.01，三位小数就是0.001……。

显然这里的分数是真分数。小数是建立在真分数的定义基础之上的，小数是分数十进制的另一种表示方法。另查到中师《小学数学基础理论和教法》中说：

根据十进制的位置原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。

小数与分数的含义一样只是表示形式不同，两者可以互化（无限不循环小数不能化成分数）。书本上的方法如下：

小数化分数，原来有几位小数，就在1后面写几个0做分母，把原来的小数点去掉后的数做分子，能约分的要约分。

之后再讲了真分数与假分数的表示方法及与小数之间的互化。

实际上任何一门学科在历史发展中，总有一定阶段的局限性。导致我们所学的知识中存在许多不完全概念，因而在学生学习的必要阶段需要我们加以阐释和推广。

例如：4/2是分数还整数？3.0是小数还是整数？小数既然来源于分数，为什么无限不循环小数又不能表示为分数？这些是经常碰到的情形，老师必须得给学生讲清楚，不然学生对这个知识永远是模糊的。

我认为老师在这些“数”学完之后有必要从更宏观的角度给学生把数的统一性与来源讲一下，这样学生在解决问题时会更简捷直观。

小数的本质是实际测量或分物时不能得到整数，就要用更小的数表示。分数是分物时不能分尽，还有余。用于计算，就是两个数相除的商。

从商的角度看，任何一个数除以1都是这个数本身，这样所有的有理数我们都可以用分数的形式来表示，即分母为1的分数，这已经不是基本定义中的分数了。

再根据分数的基本性质：分子、分母同时乘以或除以一个非零的数，分数的大小不变。这样任何一个数都可以写成无数个分数。但一般要求写出的分数是最简的，且分子与分母中不能带小数。这样我们就可以随意把一个小数化为最简分数了，而不必按定义先化成十分之几或百分之几再约分。

如0.5就可以写成0.5/1，然后分子与分母同时乘以2就得到了1/2。虽然与先写成5/10再化成1/2结果一致，但思维层次已不一样了。

在写这个问题的时候，我特意上网查了一下小学讲小数与分数互化问题是五年级下学期的内容，讲法是根据概念来。而有理数、无理数、实数等基本概念及其关系到初中才学。这时我才明白这事远远不是我想的这么简单，这个思维层次不是女儿这个阶段能想象得了的。况且即使学过了这些知识，如果老师不具备或者没有教给学生系统的数学思想，学生也不能建立起这种思维。

但这并不妨碍我把它讲给女儿听，也不妨碍我把它写下来。我想，有些知识即便老师不讲，我们自己也是可以去研究的。因为这个思维本身并不涉及多深的理论。

02 解方程的本质

今天给女儿出了一道题，黑色铅笔0.2元一支，红色铅笔0.4元一支，小明买了20支铅笔，共花了5.4元钱，问有多少支红铅笔？

女儿设未知数列方程计算如下：设黑铅笔有x支，红铅笔就有（20－x）支，所以：

0.2x (20－x) × 0.4 ＝5.4

0.2x 20 × 0.4－0.4x ＝5.4

8－5.4 ＝0.4x －0.2x

0.2x ＝2.6

x＝2.6/0.2＝13

所以红铅笔有：20－13＝7支

解法没错，只是看到解方程的最后一步使我想到解方程的本质。我问女儿：解方程的意义是什么？答：把未知数算出来。问：0.2x＝2.6时，为什么要用2.6除以0.2？答：这样才能算出x啊。

我说：你说得没错，但我们可以从另一个角度去理解解方程，更能看透解方程的核心思维。什么叫把未知数算出来呢？本质上就是把未知数的系数变为1。

这样我们在算到0.2x＝2.6时，两边同时乘以5就行了，不必移项了。她说：那还不是一样的结果，我这样做也很简单啊。我说：这涉及两种不同的思维层次。刚才这个方程很简单，当然怎么做都可以，但碰到复杂的方程时，用核心思维就可以从整体上去思考，把问题简化。她摇头说不懂。

我就出了个一元二次方程：2x2－7x 5＝0，怎么解？她没学过，不知怎么算。我说，就是你没学过才让你算，等你学过了，那就是另一种思维算法了。

我就写给她看，我们可以把7x拆分：2x2－2x－5x 5＝0，再变化：2x（x－1）－5（x－1）＝0，再移项：2x（x－1）＝5（x－1），在x不等于1的情况下，两边同除以x－1，得到x＝5/2。

她看了半天，摇摇头说：你讲了我也不会。我哈哈大笑。是啊，即使读了大学，又有多少人懂得这样来解题呢？学习是一个思维深入的过程，只有用心去研究才能上升到另一个思维高度。

03 鸡兔同笼解法原理

前几天在办公室，一个老师讲了一个趣味故事：鸡兔共15只头，40只脚，问鸡兔各有多少只？一个商人便这样教他儿子：假设鸡兔都训练有素，吹一声口哨，都抬起一只脚，还剩40－15＝25只脚，再吹一声口哨，又都抬起一只脚，还剩25－15＝10只脚，这时鸡已经一屁股坐地上了，这10 只脚全是兔的，每只兔还剩2只脚，所以兔有5只，则鸡有15－5＝10只。于是商人的儿子数学经常考第一。

鸡兔同笼问题来源于我国古代的《孙子算经》，“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据说孙子久思不得解，一天晚上突然梦到一副奇异的景象：所有的鸡都抬起一只脚站着，所有的兔都抬起两只脚站着。孙子一下子醒悟出解法来。鸡兔各抬起一半的脚后，鸡的脚数与头数相等，兔的脚数比头数多1个，这样用此时的脚数减去头数就正好是兔的只数：94/2－35＝12只，则鸡为35－12＝23只。这是孙子原解。阿基米德、凯库勒都有过类似的梦中顿悟。

很显然，老师讲的趣味故事中的算法就是来源于孙子原解。而我认为孙子原解更简捷明了。我上网上查了一下，发现鸡兔同笼的解法很多，如抬脚法、假设法、列表法等甚至给出了公式，但都停留于解法本身，没有挖掘解法原理。

先看二元一次方程解法：设鸡有x只，兔有y只，则有

头的数目：x y＝35 ①

脚的数目：2x 4y＝94 ②

现在再回头看孙子的先抬2只脚的解法，很显然，就是上式中的②/2－①得到的y的值。

这个解法的价值是非常了不起的，它告诉我们一个最基本的数学思维方法：当一个情境问题中有多个元时，基本思路就是设法消元。

《孙子算经》成书于南北朝时期，约公元400年，孙子原解的消元法是用文字叙述的。西方到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法，不过是纯数学解法。

另外，鸡兔同笼的问题可以推广，从而拓宽我们的思维。如上面第二题：黑色铅笔0.2元一支，红色铅笔0.4元一支，小明买了20支铅笔，共花了5.4元钱，问有多少支红铅笔？这也可以看作是鸡兔同笼。

把题中小数改为整数：每支黑色铅笔有2只脚，每支红色铅笔有4只脚，小明买的铅笔中共有头20只，脚54只，问红铅笔有多少支？

用抬脚法（本质上是消元法，只不过省去了高级未知数）。假设都抬起2只脚，则20支铅笔共抬起40只脚。此时，剩下的脚全部是红色铅笔的，总共还剩54-40=14只脚。这时每支红色铅笔剩2只脚，即红色铅笔有7支。

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