最短的路径怎么求（长方体表面最短路径问题）

昨天孩子有一道题目做错了，给她讲一讲。

题目：如图，长方体高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程是多少？

示意图

首先读题：

已知

• 边长为6CM，高为9CM的正四棱柱。
• AB为相对的两个顶点。

未知：A到B经过棱柱表面最短路程。

解析：

已知如图很容易理解，不再分析；而未知会有点摸不到头脑，关键有两点：

1.一定要经过表面，那肯定不是一条直线

2.最短路程。只学过两点之间直线段距离最短。

那怎么弄呢？把这个长方体想象成一个纸盒，给他拍扁，拆了。

以前学习过长方体展开图，只要确定AB两点相对位置，连线然后根据已知边的关系就可以求了。

但是多种展开方式，会不会不一样，我怎么知道哪种是最短呢？

重合即相等，我们用对称的方式可以简化。很容易想到，竖着劈一刀，左右两边是对称的。如图：

那么只要考虑A经过上下，右边横着两个，一共四个面就可以了。同理可以知道，上下两个面对AB两个点也有中心对称的关系，所以只要考虑上的一个面就好。

那么一共考虑三个面就可以了。开始，拍平！如图：

注意B点一拍平就分成了B和B'两个点，分别连接AB，AB'就可以计算了。

这里用到勾股定理，知道直角三角形两边求第三边。

有个小技巧，你已经学过勾股数：3、4、5.另外一组，是5，12，13.还有其他互质的勾股数。常用的是这两组，但是根据勾股定理：

方程两边同时乘以3，就可以得到9，12，15。你很快就可以得到AB'=15

AB就不用计算了，因为根据“大角对大边”，AB是斜边最大，而这个三角形的一条直角边已经等于9 6=15了，所以AB一定大于AB'.

所以15即为所求。

如果，你直接展开的是AB'这个面，也可以得到正确答案。但是一定要小心的是，有可能它不是最小的。

总结：

1.立体图形表面路径最小问题，就是要“拍平”，转换为平面两点间直线段问题。

2.拍平的过程中，会有多种展开的方法，可以通过“对称”省去相同的方式；但同时不要遗漏，避免找出的不是“最小”

3.勾股定理运用中先计算勾股数，可以减少运算量。

希望你能理解这个思路，并在将来的解题中运用到。