数学直角三角形最值问题（灵机一动第133期）

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进制问题

直角三角形的三边长度都是整数，且其周长在数值上等于其面积。符合上述条件的直角三角形一共有几个？

来源：Ateteem魔法学园每日一题

问题分析解答

如图，设直角三角形的三边分别a，b，c，并设a<b,因为周长和面积相等，则有：

a² b²=c² ①

a b c=1/2ab ②

由②得，c=1/2ab-(a b)，代入①消去c化简得：

ab-4(a b) 8=0

进一步有：

(a-4)(b-4)=8

因为a，b都是正整数，且a<b，所以

a-4=1，b-4=8或a-4=2，b-4=4

得 a=5，b=12 或 a=6，b=8。

可知符合条件的直角三角形只有两个，三边长分别为5，12，13和6，8，10。

题友解答精选

◎题友 @卞爱华的解答：

首先要知道勾股数满足通项公式：k(m²-n²),2kmn,k(m² n²)。根据题意列出方程并化简有：kn(m-n)=2，容易得到三组解(k,m,n)=(2,2,1)、(1,3,1)、(1,3,2)。最后得到2个满足题意的△：(6,8,10)、(5,12,13)。

小编注：关于勾股数组满足的通项公式可参见今天推送的头条文章《欧几里得与勾股数组》。

◎题友 @reds的解答：

假设两直角边长为a,b。 那么 a b sqrt(a^2 b^2)=(1/2)ab。 化简得 (1/4)ab 2=a b，(a-4)(b-4)=8 因此 a=5,b=12 或者 a=6,b=8。共有两种

◎题友 @流水_轻风 的解答：

设直角边为a，b，（a≤b）斜边为c，由题意a² b²=c²，ab=2（a b c），消去c可得，（a－4）（b－4）=8，由于a，b均为正整数（a≤b），可得两组解a=5，b=12和a=6，b=8.故这样的直角三角形有两个。

◎题友 @海阔天空 的解答：

根据题意，设该直角三角形两直角边分别为a² -b² 和2ab(a b为正整数且a>b)，则斜边长为a² b² ，据题列出等式化简得:b(a-b)=2。解得:a=3，b=1 或a=3，b=2。因此，满足题目条件的直角三角形有2组。即边长分别为(6 8 10)和(5 12 13)两组直角三角形。

本期答案整理：子曰 编辑：子曰

感谢各位题友的积极参与，下期再见！

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