数学模型决策变量要分开写（从代数集逐步的导出概型）

所有以x¹,x²,…,xⁿ为变元的多项式f(x¹,x²,…,xⁿ)的全体组成了多项式环k[x¹,x²,…,xⁿ]，其可以作为仿射空间Aⁿ上的函数，而代数集就定义为一族多项式的公共零点集这一族多项式可生成多项式环的一个理想，也就是多项式环的具有某种代数性质的一个子集，但关键在于理想的公共零点集恰好就是这族多项式的零点集，这样我们就把代数集转化定义为理想的公共零点集，因为理想具有很好的代数性质，所以就可以通过理想把代数集纳入抽象代数的框架下面进行研究从这点出发，因为多项式环的理想是有限生成的(希尔伯特基定理)，所以代数集是有限个多项式的公共零点，这是第一个有趣的结果，因为我们所说的一族的含义有可能是有无限个，但是这个结果告诉我们，无限的情况不可能发生，所有的代数集都是有限个多项式的零点，下面我们就来说一说关于数学模型决策变量要分开写?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

数学模型决策变量要分开写

所有以x¹,x²,…,xⁿ为变元的多项式f(x¹,x²,…,xⁿ)的全体组成了多项式环k[x¹,x²,…,xⁿ]，其可以作为仿射空间Aⁿ上的函数，而代数集就定义为一族多项式的公共零点集。这一族多项式可生成多项式环的一个理想，也就是多项式环的具有某种代数性质的一个子集，但关键在于理想的公共零点集恰好就是这族多项式的零点集，这样我们就把代数集转化定义为理想的公共零点集，因为理想具有很好的代数性质，所以就可以通过理想把代数集纳入抽象代数的框架下面进行研究。从这点出发，因为多项式环的理想是有限生成的(希尔伯特基定理)，所以代数集是有限个多项式的公共零点，这是第一个有趣的结果，因为我们所说的一族的含义有可能是有无限个，但是这个结果告诉我们，无限的情况不可能发生，所有的代数集都是有限个多项式的零点。

一，Zariski拓扑与坐标环，一切貌似都很完美。

现在我们把理想写成小写的拉丁字母a,b,c,...，它们所对应的代数集记为Z(a),Z(b),Z(c)...，

其中Z是英文单词zero的首字母，表示零点的意思。

进一步讨论理想和它所对应的代数集之间的关系，我们会发现Z(k[x¹,x²,…,xⁿ])=∅，Z(a)∪Z(b)=Z(ab)以及∩Z(aⁱ)=Z(∑aⁱ)，这就是说有限代数集的并和任意代数集的交仍然是代数集，这个结果符合拓扑公理，启示我们所有的代数集可以形成一个拓扑的闭集，这个生成的拓扑就叫Zariski拓扑。。

到目前为止都是在空间Aⁿ上讨论。如果我们固定一个代数集Z(c)，把以上的思路用来考虑其他代数集与Z(c)的交，注意这个交可以写成形式Z(a c)，我们得到关系式 Z(a c)∪Z(b c)=Z(ab c)， ∩Z(aⁱ c)=Z(∑aⁱ c)，

这就启示我们可以把包含在Z(c)内部的代数集作为闭集来形成拓扑，也叫Zariski拓扑。由于这样的代数集都是由包含理想c的理想所生成的，而根据代数上的结果，这恰好对应于商环k[x¹,x²,…,xⁿ]/c的理想。因此，我们把带有Zariski拓扑的代数集Z(c)对应于商环k[x¹,x²,…,xⁿ]/c，闭集对应于商环的理想。但是这个对应并不是一一对应的，不同的理想可以对应同一的代数集。两个理想满足什么条件时，它们对应相同的理想？这个问题由希尔伯特零点定理所解决，该定理是说当且仅当它们的根相同时，它们对应相同的代数集。这对应于f=0和fⁿ=0具有相同的零点这一事实。

因此，我们的代数集全体对应于那些与其根相同的那些理想，这些理想被称为根理想，这样我们就可以把注意力放在根理想上。在这个对应关系下，Z(a)⊂Z(b)当且仅当a⊃b，这也就是这个对应关于包含关系是反向对应的，例如，闭集的点就对应于所有包含这个理想的极大理想的全体。如果我们定义Y(a)就对应于那些包含a的极大理想的全体，按照这个定义，可以给出Y(a)∪Y(b)=Y(ab)以及∩Y(aⁱ)=Y(∑aⁱ)的完全按照理想语言的新证明。注意，在证明的过程中只利用了极大理想是素理想的性质，而跟极大性无关，这就是说我们可以把Y(a)视为那些包含a的素理想的全体，关系式仍然正确。

这里，我们再细致的观察代数集的zariski拓扑。这个拓扑特别的粗糙，比如，对于仿射空间Aⁿ来说，开集是整个仿射空间去掉低一维的子集，而且这个子集比较规整，就是多项式的零点，这相比于通常的欧式拓扑来说，开集相当的少了。从拓扑性质来说，Zariski拓扑不具备Hausdoff的分离性，这一点从代数上看，对于任意一族多项式，都有相当多的仿射空间中的点不是这些多项式的零点，这里的关键在于有限性，这是希尔伯特基定理所保证的，是多项式环的诺特性的体现。另一方面，这个Zariski拓扑有不可约集，因为它不像欧式空间一样有充分多的闭集来进行分解，这就导致了有相当多的代数集不可约。因为我们的代数集所对应的环是诺特环，所以根据反向对应关系，代数集也是诺特空间，也就是说具有严格包含关系的闭集列有尽头。根据这个事实，可以用这个拓扑事实来证明任何代数集均可以分解为不可约集合的并，当然从代数上来看，这也是诺特环中的准素分解定理的推论。

从这个不可约分解定理引出两个思考，第一是既然不可约集是不可分解的代数集，是否我们可以把这个不可约集视为最小组成单元？要知道，单点也是不可约集，是否可以把它和单点视为同样的地位，也就是把不可约集也看成一个“”点”？这就像物理一样的把不可分解的粒子视为基本粒子。第二，不可约代数集(也被称为簇)对应的是素理想，所以其子拓扑对应的坐标环是整环，整环有非常好的性质，所以可以预见，簇也具有相当好的性质。因此，我们研究一般的代数集时可以先把代数集进行不可约分解，然后再研究每个不可约分支，也就是簇，的性质，通过这两步，就能把问题得到简化。

二，正则函数以及态射，问题的浮现。

有了拓扑空间，我们自然就要讨论其上的函数。因为如果每个不可约分支上决的函数确定了，那么整个代数集上的也自然确定了，所以我们限于在簇上讨论。首先的问题是什么样的函数才能作为代数集上的函数？目前我们的素材是多项式环以及上面的商环，然后我们可以通过加减乘除开根号等等运算来生成新的函数，因为我们代数几何的目的是为了用简单的只有加减乘除来研究多项式的根号运算所以我们目前所定义的函数只能用加减乘除来定义。由于我们是在簇上考虑的，我们的坐标环是整环，可以做加减乘除法(坐标环是整环，这也是我们限于簇上讨论函数的原因)。因为环关于加减乘封闭，所以只有除法能得出新的函数，这就是有理函数域。但是因为有理函数的分母有零点，所以在簇上的任意一点上，并不能保证每个有理函数都有定义。对每一个点，我们考虑在其上有定义的有理函数的全体，称之为关于这一点的正则函数芽。也就是说，我们讨论簇上的函数不是从函数本身整体上考虑的，而是换一种角度，给簇上的每一点赋予一族有理函数，这个有理函数族是随着点变化而变化的，这其实是层的概念的雏形。

接下来，我们要将簇以及它上面的正则函数彻底的代数化。利用簇与坐标环中理想的反向包含对应关系，得出簇上的点一一的对应于它的坐标环中的极大理想，簇中的闭集对应于一个理想，而不可约闭子集对应于素理想。而某个点所对应的极大理想就是在该点取值为零的多项式全体，所以多项式除以不属于这个极大理想的多项式所形成的有理函数的全体就是这个点的正则函数，这个过程在代数上称为局部化过程。

我们接下来还要讨论簇之间的态射，同样的，我们首先面临着该如何定义簇之间态射的问题。因为在簇上我们定义了正则函数，所以我们对簇之间态射的最低要求是正则函数和这个态射的复合仍然为正则函数。一个漂亮的结论就是每个满足这最低要求的映射与两个坐标环之间的代数同态一一相对应。这个结果说明仿射簇之间的态射必须是相应的坐标环之间的同态所诱导的，这就已经是很强的限制了，使得我们没有可选择的余地，而且这个结果又非常整齐，这就促使我们把满足这个最低要求的映射就定义为簇之间的态射。现在我们把态射代数化，把簇的点用坐标环的极大理想来表示，这时态射其实就是用坐标环之间的代数同态把极大理想的拉回，也就是用代数同态把一个坐标环的极大理想全体拉到另一个坐标环的极大理想全体之中去。总的来说我们的思路是由态射导出坐标环之间的代数同态，然后再由这个坐标环之间的代数同态导出极大理想之间的态射，其实就是拉回。很遗憾，极大理想经同态拉回并不一定是极大理想了。

第三节，添加广义点来解决问题。

克服这一点的想法就是在簇中的通常的极大理想的基础上添加新的理想，这新添加的点我们称之为广义点，使得经坐标环之间的代数同态拉回后“点”仍然对应的是“点”。有一个代数命题是说在环同态下，素理想的拉回仍然是素理想，也就是说素理想具有很好的“拉回”性质，而且素理想和极大理想相差并不算太大，所以就启发我们把所有的素理想添进去，得到一个扩充的簇，它的点对应于坐标环中的素理想，极大理想对应于簇中的原来的点，不是极大理想的素理想对应于簇中的不可约代数集。

我们对簇的概念有了新的定义，这就必须对Zariski拓扑，正则函数以及态射的定义进行重新的审视，我们希望新定义的和老的簇之间的相关概念有继承性。

对于拓扑，需要检验老的簇是否为新的簇的子拓扑空间。首先我们在新的簇上定义拓扑，根据代数闭子集与坐标环的理想之间的反向包含关系，我们定义Z(a)是那些包含a的极大理想的全体，也就是闭集是那些包含某个理想的素理想的全体。根据前面的结论，这确实定义了一个拓扑，而且与老的簇上的拓扑一致。

我们已经有了对于闭点的正则函数的定义，对于新添加的广义点，我们仍仿照闭点的正则函数那样，定义多项式除以在这个素理想上不为零的多项式所形成的有理函数的全体就是广义点的正则函数。这里，我们把多项式在这个广义点(素理想)上为零解释为这个多项式属于这个素理想。需要注意，我们的正则函数在这一点的附近均有意义，这是因为正则函数的分母的主理想形成了一个闭集，它的补是那些不包含这个多项式的素理想形成的开集，也就是说这个分母多项式在这个开集的任意点上均不为零，所以正则函数在这个开集上有意义。

最后我们看态射的概念。前面已经说明，两个旧的簇之间的态射唯一的对应一个两个坐标环之间的代数同态，而我们之所以添加广义点素理想的原因就是素理想在这个代数同态下的拉回仍然是素理想，这自然与原来的态射契合。

代数上，环R的素理想全体称为R的素谱，记为spec R。

四，推广，一般概型的引出。

到目前为止，我们讨论的都是代数集和仿射簇，从代数上看，我们考虑的是商环k[x¹,x²,…,xⁿ]/a的素谱，其中a是根理想或者是素理想。但是如果理想a不是根理想或素理想，而是一般的理想，上面理论框架对也成立，因此可以推广到一般的商环的素谱spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a上。把 素谱Spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a配上所定义的正则函数芽，我们就称其为概型。代数学上的一个定理是说: 对任何理想a，包含它的素理想的全体的交是理想a的根√a，根据这个结果，素谱spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a和素谱spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/√a作为拓扑空间是一致的。但是素谱spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a上的函数因为是以k[x¹,x²,…,xⁿ]/a为素材构造的，它包含幂零元，所以素谱spec k[x¹,x²,…,xⁿ]/a的正则函数除了包含一般的函数外，该包含有幂零元。

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