中考数学压轴题等边三角形存在性（中考数学几何热点分析）

2017年中考似乎没过去多久，但我们已经很少去关注，所有“新”的一届中考家长和考生大家都只盯着2018年中考。中考年年都会考，同样年年都有人会问中考怎么考？会考什么内容等等之类的话题。

中考数学虽然考查的知识点、方法技巧、数学思想方法较多，但细细去分析，其实也就那么一点内容，如数与式、方程与不等式、二次函数等等。其次，我们认真去研究历年的中考数学试题，你会发现很多题型每年是固定不变，历年都会考到，如函数综合问题、统计与概率、几何综合问题等等。

因此，绞尽脑汁去思考2018年中考数学会考什么内容，暂时还不如把精力放在一些中考数学历年常考试题上，认认真真去研究一下，找到一些“共性”的规律，吃透一些常考热门考点，为自己的中考打下一个良好的基础。

几何内容就是每年中考数学热门考查对象，在中考数学中占有相当高的分值，考查范围一般包括三角形、四边形、圆相关的知识内容等等，其中与三角形相关的相似三角形更是其中的重难点，它是历年中考数学的热点内容。

相似三角形作为中考数学中的一块非常重要的知识内容，一般会考查到以下三个方面内容：

1、考查相似三角形的判定定理；

2、考查利用相似三角形的性质去解决具体问题；

3、考查与相似三角形有关的综合内容。

从历年中考数学得分情况来看，很多考生在相似三角形上失分比较严重，特别是对于一些几何综合性问题，都是因为没有想到相似三角形，没有抓住相似三角形的性质等等，造成失分。

对于2018年中考生来说，现在开始就认真对待相似三角形，扎实掌握每一个知识点，吃透每一个方法技巧，深刻理解其中蕴含的数学思想方法等等。

典型例题分析1：

如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．

（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．

考点分析：

相似三角形；圆的综合题。

题干分析：

（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD OQ=OA，列出方程即可求出t的值；

（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；

（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围。

解题分析：

本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答。

如果我们想要更好的去理解相似三角形，可以从全等三角形角度去理解，把全等三角形看成是相似三角形的特殊情况，这样可以帮助我们更好去理解起相似三角形相关定理和性质。

我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

类比全等三角形的概念，我们可以得到相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

相似三角形和全等三角形都是一样，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

三角形全等的判定定理-边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。

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类比得到三角形相似的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）。

三角形全等的判定定理-边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

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类比得到三角形相似的判定定理：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

直角三角形全等的判定-对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

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类比得到三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

典型例题分析2：

已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；

（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点P，使得PC=1/2？请说明理由。

题干分析：

（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC ∠PBA=90°，推出∠PAM ∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出PM/PC=AM/BC=PA/PB，由△BAP∽△BNA，推出PA/PB=AN/BC，得到AN/AB=AM/BC，由此即可证明．

（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC=1/2，推出矛盾即可。

解题反思：

本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题。

跟相似三角形有关的综合问题具有鲜明的特点，如开放探究性、知识综合性较强等等。要想在中考数学中拿到相关的分数，那么大家就需要认真掌握好基础知识内容，如由平行四边形对边平行的性质得到相似三角形的基本图形（“X”、“A”）；能将相似的特殊情形如全等、相似的传递性加以转换和类比等。

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