立体几何中角的求法（立体几何中的最小角和最大角定理）

上期立体几何中折叠体中出现了最下角定理和二面角的最大性定理，后台有留言问及这两个定理，今天对这两个定理做一次简要说明。

与这两个定理有关的题目常见于空间中角的比较，例如浙江省曾经连续三年考到了类似的题目，链接为：三年套娃系列之空间角大小的比较，但这种单纯比较三类空间角大小的题目在全国卷和新高考中并不多见，解决此类问题常规做法是作出所需角的平面角，利用三角形中比较边长的大小，进而确定正弦余弦或正切的大小，最终确定角的大小，但有的时候线线角和线面角，线面角和二面角可以直接确定出大小关系。

另外还有一类题型就是在立体几何中涉及空间角的最值问题，有时候也可以利用最小角和最大角定理判断出来。

立体几何中的最小角定理：

最小角定理可从三余弦定理中推断出，如上图所示，OA为斜线，AO为斜线的投影，则∠OAQ为线面角，OA,AP为线线角，根据三余弦定理可知线线角≥线面角，当AP恰好为OA投影时取等，即线面角是线线角的最小值，这个很容易理解，之前的推送中有好多比较角度大小的题目，可以自己搜一下，顺便再说一下，三余弦定理是判断两条异面直线垂直与否的常用工具。

分析：因为PQ，AC异面，两条直线不可能存在谁是谁的投影的情况，根据线线角大于线面角，若PQ，AC夹角为30°，则线面角一定小于30°，因此只需把其中一条直线放到一个平面内求线面角即可。

若把AC放到平面ABC中，此时PQ和平面ABC的线面角很容易找，就是∠CPQ，即根据∠CPQ<30°来确定PA的取值范围，但此时CP，CQ，PQ均未知且与AP没有直接关联，因此方法欠妥，应该将PQ放到某个平面内，如平面PCD中，求AC与平面PCD的线面角小于30°即可。

因为CD⊥AC，只需从A点作PC的垂线AH即可，因此AH⊥PC且AH⊥CD，点H落在直线CP上，所以AC与平面PCD所形成的线面角即为∠ACP,只需根据∠ACP<30°求出PA的取值范围即可。

立体几何中的最大角定理：

在上次折叠问题中最后一个题目给出过最大角定理，最大角定理比较的是二面角和线面角的大小关系，以下图为例：

上面的图只是一种特例，可归纳为若平面α和平面β的二面角为∠AOB，则平面α中的任意一条直线l与平面β所成的线面角均小于等于∠AOB，取等时l与AO重合，简言之为二面角是线面角的最大值。

分析：回顾一下正四面体中与二面角有关的常用结论，正四面体侧面与底面所成角的正弦值为2√2/3，余弦值为1/3

根据最大角定理，二面角是线面角的最大值，PE与平面BCD的夹角要小于等于平面ACD与平面BCD的夹角，而侧面与底面所成二面角的平面角为∠AOB（O为BC的中点），当PE//AO时，sin θ取得最大值为2√2/3，若问cosθ的最小值则为1/3.

与立体几何中最小角定理和最大角定理，本身也不难理解，算是对立体几何三类空间角的补充。