新教材数学有没有必修三（聊聊新教材必修一的函数）

高一同学在必修一中所要学习的最重要、最核心的知识就是就是函数。函数是高中数学里非常重要的一部分，与之相关的基本初等函数、集合、三角函数、数列、不等式、导数等内容，在高考中所占的总分值相当高，基本上可以占到四五十分。

但是这几年函数的命题有逐渐偏难的趋势，早几年函数的命题多是定义域、函数的性质，但是这几年多是函数的图像、函数与方程、分段函数等题目，难度相对较高。

高中的函数与初中所学习的函数相比，是有区别的。

初中的函数定义是这样说的：

在一个变化过程中，随着一个变量x的变化，都有另一个变量y与之相对应。

这一定义强调的是变化过程，是运动的观点。

因为变化隐含着时间这个量。

而高中的定义中，函数是两个集合之间的对应关系：

对于两个非空集合A与B，对于集合A中的任何一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一的一个元素y与之相对应，这种对应关系叫做函数。

这一定义强调的是对应，是静态的观点。

只在高中数学的范畴中谈的话，这一定义的好处就是可以将函数分解成几部分：定义域、值域、对应法则。

这三者也是经常命题的点。

比如求函数定义域，往往和指数不等式、对数不等式结合，本质是考察指数函数、对数函数这两个函数的单调性。

说到这里顺便多提一点，当我们看到一道题目，你要能明白这道题目到底是考察什么的，要在解题过程中不断的转换，最终转化到最基本的知识。

比如一道含有对数函数或者二次式的定义域问题， 往往是转化成不等式问题，而不等式问题往往转化成单调性问题或者图像问题。

传统的值域问题现在考察的其实不太多了，不过最值问题目前是高考经常考察的题型，仅限于高一的话，这一类题目一般是和单调性、函数图像结合的比较多。

我一般是建议学生们在做题的时候，学会利用图像解题，这就涉及到需要能够比较熟练的利用基本初等函数的图像与函数图像的变换，尤其是平移变换、对称变换、翻折变换这三种，结合反比例函数、对数函数和指数函数这三种基本初等函数，一定要能够熟练掌握。

对应法则的话，包含求解析式与分段函数。

求解析式主要是涉及到待定系数与换元两种方法，或者说是两种思路。

这两种方法不仅是在函数中会用到，其他章节也会用到。

当然现在这一部分的考察重点是以分段函数为主，因为分段函数的特殊之处——在定义域的不同区间之上对应法则不同，非常适合考察学生对图像、分类讨论思想、复合函数等内容的考察，而分段函数又会与函数的性质结合在一起。

分段函数的常见题型包括求值——求函数值、解方程；不等式——求最值、解不等式；函数与方程——函数零点、方程根的存在性与个数问题。

说到这里就不能不提高中数学考试命题一个非常大的特点，因为高中的知识特别多，所以在考试中很少有只考一个知识点的题目，一般都包含两个以上的知识点，这是高中数学与初中数学的显著差别之一。

所以在知识的广度上一定要做到位，这是所谓基础扎实的第一维度。

函数的三要素研究完之后，就是函数的表示方法，函数的表示方法主要是列表法、图像法和解析式法，这三种方法里着重需要研究的是图像法和解析式法。

尤其是图像法，很多同学是容易忽略掉的，我们可以认为图像其实就是函数，所以图像的某些特征一定对应着函数的某些性质，这是数形结合的根源。

而数形结合是解决函数问题最重要的思想。

学生们在学习函数的时候，一定要学会结合图像，基本初等函数的图像、函数性质的图像特征——奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数图像的各种变换。

这些都是需要掌握的。

结合图像思考问题。

当把这些基础性的预备知识学习完之后，我们要学习的就是函数的性质，即单调性、奇偶性、周期性这三个性质，这是高中数学和初中数学的一个显著地区别。

单调性的本质可以看做是不等关系，即自变量的大小关系和函数值的大小关系是否一致，所以单调性相关的题目都是不等关系，比如解不等式、比较大小、求最值等，单调性在之后还会再研究，即导数。

奇偶性其实是对称性的一种特殊情况，所以要真正理解奇偶性可以从对称性入手。奇偶性的本质是自变量互为相反数的时候函数值的正负。

周期性在必修一中主要是在三角函数中体现。

三角函数在高中与初中的区别首先就在于角的概念发生了变化，因此导致角的范围扩大，引入了终边相同角的概念，这是周期性的源头，因为终边相通角的三角函数值是相同的。

在研究和解决三角函数的性质问题，都需要考虑周期性。

三角函数中还涉及到三角恒等变形，三角函数的公式比较多，死记硬背没有价值，最好是理解推导过程。

必修一给我们提供了五种函数作为研究对象，供我们实践之前学习过的内容，其中幂函数、二次函数是在初中基础上的再研究，即用高中的相关知识重新研究这两种函数的性质和特征。

指数函数和对数函数、三角函数，则是完全崭新的函数，尤其是对数函数，所以我们在做题的时候，会发现基本初等函数里，指数函数和对数函数出现的尤其多。三角函数是独立一章，自然也很重要。

指数函数和对数函数这两个函数本身的性质及其有限，无非是单调性、恒过点、渐近线，对数函数加一个定义域，其中很明显以单调性为主要考察点。

所以我们在涉及到单调性，图像变换，乃至之后导数的题目中，指数函数、对数函数，尤其是对数函数出现的是很多的。

函数和方程，这里面有一个考点就是函数的零点问题。

这一问题在高考中是经常出现在选择题最后几题的，一般的思路是：

函数的零点问题转化成方程根的问题，方程根的问题转化成两个函数的图像交点问题。

总之，必修一中的函数，可以说是高中数学真正的基础课，无论如何都要重视起来，如果要给一个建议的话，我还是老生常谈：

数形结合。

以图像为核心，组织知识，以数形结合思想，解决函数问题。

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