复合函数连续性极限（复合函数与函数连续性）

复合函数与函数的连续性。不相干，是这两件事没有太多的联系；共性，是这两件事都在我们身边反复发生，但是又没好好地拿来说一说。不如就来聊一聊吧！

一、复合函数

中学的数学会介绍很多函数，包括一次函数，二次函数，反比例函数，幂函数，还有指数函数，对数函数，三角函数等，它们源于对现实世界中某一类变化规律的刻画。函数的家族是非常庞大的，除了这些源于现实世界的函数，还可以通过一些特定的生成方式，在已知函数的基础上来形成很多新的函数，而且这种构造是源源不断的。

最容易想到的方式，当然是通过“运算”，就像通过两个数的加减乘除产生新数一样，也可以通过两个或几个函数的加减乘除的到一个新的函数。但是有没有比较特别的方式呢？可以回到函数的定义来想一想。

如下图所示，f：A→B是从数集A到B的函数，是指对于集合A中的任意一个数x，按照对应关系f，在集合B中有唯一的数u和它对应； g：B→C是指从数集B到C的函数，是指对于集合B中的任意一个数u，按照对应关系g，在集合C中有唯一的数y和它对应。

现在，先后经过两次对应f和g，对于集合A中的任意一个数x，按照对应关系h，在集合B中有唯一的数y和它对应，所以h：A→C是一个函数。根据这种对应的关系，y=g(f(x)).

按照这种方式形成的函数叫做复合函数。例如函数u=f（x）=1 和y=g（x）=“复合”而成函数，即。同样地，三个函数f（x）=，g(t)=，复合成函数，即

从复合函数的角度解决问题，很多时候会将复杂问题简单化。

例如复合函数单调性的判断法则是“同增异减”，即当一个复合函数的内层函数与外层函数单调性相同时，这个复合函数单调递增；当一个复合函数的内函数与外函数单调性相反时，这个复合函数单调递减。利用这个判断法则，对于函数，内层函数f（x）=1 在[0, ∞)是单调递增的，在（-∞，0]是单调递减的；外层函数g(u)=在定义域内单调递增。所以的单调性就是，在[0, ∞)是单调递增的，在（-∞，0]是单调递减的。

再如复合函数奇偶性的判断法则是“有偶则偶，全奇再奇”，只要各层函数中有一个是偶函数，那么这个复合函数就是偶函数；只有当各层函数都是奇函数时，这个复合函数才是奇函数。利用这个判断法则，也可以通过判断构成复合函数的两个或多个简单函数中的奇偶性来得到复合函数的的奇偶性。

可以说，“复合”不仅是生成函数的一种方式，而且复合函数还为研究更多函数提供了非常好的工具。至于复合函数单调性和奇偶性判断法则的获得与证明，根据函数单调性和奇偶性定义，你自己来试一试吧！

二、函数的连续性

随着大量函数的出现，有一个问题也随之而来，就是函数的连续性。在函数发展的早期，连续性并不是一个大问题，因为认识的函数范围小，定义函数的很多数学家都以几乎默认的态度认为函数一定是连续的。但是随着函数概念的不断完善，构成并研究的函数种类越来越多，函数是否具有连续性就变成了一个非常重要而且基础性的问题了。

看看下面的各种曲线，你觉得哪些是连续的，哪些不是？

函数图象带来函数的连续性的直观观念：如果函数的图象是不断开的曲线，那么这个函数是连续的。但是关于函数连续性的严格的数学定义，就不是一件简单的、容易理解的事情了。通俗地说，函数y=f(x)在x0点连续就是当x充分靠近x0时，f(x)能任意接近f(x0)。进而，如果函数y=f(x)在区间I的每一个点连续，那么就称这个函数在I连续。

连续性是函数非常重要的性质，具有连续性的函数是更容易把握和体验的。回想一下，如何画出函数图象？基本步骤有三：列表，描点，连线。最后一步“连线”是用光滑曲线连接所画出的点，你是否想过为什么能够直接画出没有描过的点呢？这里用到的正是函数的连续性。因为中学所研究的几类函数大都是连续函数，所以可以不间断地连点成线。

连续函数还具有一些和我们直觉相符合得又好又重要的性质，举两个例子。

从直观上说就是：如果一条连续曲线要由x轴下面的一个点，到x轴上面的一个点，那么这条连续曲线必然在某一处穿过x轴。

从直观上说就是：连续函数y=f(x)的图象必然至少有一个最高点和一个最低点。

这两个定理告诉我们连续函数在闭区间中的零点特性和最值存在。函数的零点可以用来研究方程，函数的最值（极值）可以用来解决很多优化问题，都是函数在其他领域发挥重要作用的工具和基础特性。

当然，函数还有很多很多，种类多姿多彩、性质千姿百态。利用它们，就能解释生活中出现的各种现象以及其他学科和分支中出现的各种问题。选一个自己喜欢的角度，去函数的世界探索吧！