比较大的整数的立方（42也被人类写成了三个整数的立方和）

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导读

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近日，有人在了麻省理工学院数学系的网页上贴上了一个等式，

(-80538738812075974)^3 80435758145817515^3 12602123297335631^3

等于多少自己算？ ——它居然等于——等于42！

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还记得哆嗒小编发布的文章（人类第一次将33写成了3个整数的立方和） 吗 ，描述了33被写成三个整数立方和的过程以及三立方和的问题背景。 当时提到，100以内还没有写成3个整数立方和的数只有42了。 ——当然，严谨的说9n±4的这些自然数除外，因为它们不可能写成这样的等式。

【袁岚峰注：一个立方数除以9只可能余0（3n的立方）或者1（3n 1的立方）或者-1（3n - 1的立方），所以把三个立方数加起来除以9，余数只可能是0、正负1、正负2或正负3，不可能是正负4。 】

而近日，有人在了麻省理工学院数学系的网页上贴上了一个等式，网页同样很简单，但没给出结果：

在推特上，菲尔兹奖得主高尔斯也转发了这个结果。

于是下面这句话成为定理：

除了9n±4型自然数外，所有100以内的自然数都能写成三个整数的立方和。

据悉，发现此等式的数学家是来自布里斯托大小的Andrew Booker和来自麻省理工学院的Andrew Sutherland 。

如果有人要问，此结果有什么用？数学家们负责发现数学规律，有没有用之类的问题不是数学家必须回答的——但是搞这个本身很好玩不是吗？

这意味着，最小的没被写成三个整数立方和的自然数为114。

附上100以内三立方和的非零解全表（多种写法选取其中一个）

1 = (-1)³ 1³ 1³

2 = 7³ (-5)³ (-6)³

3 = 1³ 1³ 1³

4不可能

5不可能

6 = (-1)³ (-1)³ 2³

7 = 104³ 32³ (-105)³

8 = (-1)³ 1³ 2³

9 = 217³ (-52)³ (-216)³

10 = 1³ 1³ 2³

11 = (-2)³ (-2)³ 3³

12 = 7³ 10³ (-11)³

13不可能

14不可能

15 = (-1)³ 2³ 2³

16 = (-511)³ (-1609)³ 1626³

17 = 1³ 2³ 2³

18 = (-1)³ (-2)³ 3³

19 = 19³ (-14)³ (-16)³

20 = 1³ (-2)³ 3³

21 = (-11)³ (-14)³ 16³

22不可能

23不可能

24 = (-2901096694)³ (-15550555555)³ 15584139827³

25 = (-1)³ (-1)³ 3³

26 = 297³ 161³ (-312)³

27 = (-1)³ 1³ 3³

28 = 14³ 13³ (-17)³

29 = 1³ 1³ 3³

30 = (-283059965)³ (-2218888517)³ 2220422932³

31不可能

32不可能

33 = 8866128975287528³ (-8778405442862239)³ (-2736111468807040)³

34 = (-1)³ 2³ 3³

35 = 14³ (-8)³ (-13)³

36 = 1³ 2³ 3³

37 = 50³ 37³ (-56)³

38 = 1³ (-3)³ 4³

39 = 117367³ 134476³ (-159380)³

40不可能

41不可能

42 = (-80538738812075974)³ 80435758145817515³ 12602123297335631³

43 = 2³ 2³ 3³

44 = (-5)³ (-7)³ 8³

45 = 2³ (-3)³ 4³

46 = (-2)³ 3³ 3³

47 = 6³ 7³ (-8)³

48 = (-23)³ (-26)³ 31³

49不可能

50不可能

51 = 602³ 659³ (-796)³

52 = 23961292454³ 60702901317³ (-61922712865)³

53 = (-1)³ 3³ 3³

54 = (-7)³ (-11)³ 12³

55 = 1³ 3³ 3³

56 = (-11)³ (-21)³ 22³

57 = 1³ (-2)³ 4³

58不可能

59不可能

60 = (-1)³ (-4)³ 5³

61 = 845³ 668³ (-966)³

62 = 3³ 3³ 2³

63 = 7³ (-4)³ (-6)³

64 = (-1)³ 1³ 4³

65 = 91³ 85³ (-111)³

66 = 1³ 1³ 4³

67不可能

68不可能

69 = 2³ (-4)³ 5³

70 = 11³ 20³ (-21)³

71 = (-1)³ 2³ 4³

72 = 7³ 9³ (-10)³

73 = 1³ 2³ 4³

74 = (-284650292555885)³ (66229832190556)³ (283450105697727)³

75 = 4381159³ 435203083³ (-435203231)³

76不可能

77不可能

78 = 26³ 53³ (-55)³

79 = (-19)³ (-33)³ 35³

80 = 69241³ 103532³ (-112969)³

81 = 10³ 17³ (-18)³

82 = (-11)³ (-11)³ 14³

83 = (-2)³ 3³ 4³

84 = (-8241191)³ (-41531726)³ 41639611³

85不可能

86不可能

87 = (-1972)³ (-4126)³ 4271³

88 = 3³ (-4)³ 5³

89 = 6³ 6³ (-7)³

90 = (-1)³ 3³ 4³

91 = 364³ 192³ (-381)³

92 = 1³ 3³ 4³

93 = (-5)³ (-5)³ 7³

94不可能

95不可能

96 = 10853³ 13139³ (-15250)³

97 = (-1)³ (-3)³ 5³

98 = 14³ 9³ (-15)³

99 = 2³ 3³ 4³

100 = 7³ (-3)³ (-6)³

背景简介： 本文2019年9月6日发表于微信公众号 哆嗒数学网（https://mp.weixin.qq.com/s? __biz=MzUzMTA2MDk1NA==&mid=2247487331&idx=1&sn=65dffa7e30a12ce7e18c8a72666d2e5d），风云之声获授权转载。

责任编辑： 孙远，

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