物理学中兔子能追上乌龟吗（运动员为什么追不上乌龟）

有人认为量子化的概念太过难以理解，其实仔细分析起来，连续性才是一个更让人难以理解的概念。比如说，你能说出哪个数字和1是连续的吗？是1.1？还是1.000001？还是1.00000000001？无论你说出哪个数字，还是有无数个数字夹在它和1中间，那到底哪个数字才和1连在一起呢？连续性在数学上都难以做到，描述真实世界的物理量又如何能做到呢？

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有人说了，我虽然没法连续数数，但我可以在纸上画一条线，这条线不就是连续的吗？是吗？让我们在纸上画一条线，然后用放大镜来仔细看看。还是连续的吗？好，拿扫描隧道显微镜放大上千万倍看看。你只会看到一个一个的原子在不停地振动，它们还是连续的吗？

还有人不服气，那时间和空间总该是连续的吧？其实这也只是人们头脑中的一种想象，实际上，时间和空间也是不连续的。这一点，我们可以从古希腊哲学家芝诺提出的阿基里斯与乌龟赛跑的悖论来分析。

3.1 芝诺悖论：你能追上乌龟吗？

阿基里斯是古希腊神话中的跑步健将。假设他和乌龟赛跑，他的速度为乌龟的10倍，乌龟在其前面10m处出发，他在后面追。芝诺可以证明，阿基里斯永远不可能追上乌龟！

当阿基里斯追到10m时，乌龟已经向前爬了1m；而当他追过这1m时，乌龟又已经向前爬了0.1m，他只能再追向那个0.1m（见图3-1）。因为追赶者需要用一段时间才能达到被追者的出发点，这段时间内被追者已经又往前走了一段距离，所以被追者总是在追赶者前面。这样，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

这个悖论的问题出在哪儿呢？乍一看，其逻辑推理确实是无懈可击的，但实际上这个推理建立的基础是：时间和空间是可以无限分割的。

因为芝诺将追赶的过程分成了无穷多个部分，到后来阿基里斯与乌龟的距离无穷小，追上这段距离所需的时间也无穷小。如果时空真能无限分割，那么他就永远也追不上。

数学家们是这么解释的：阿基里斯虽然需要追赶无穷多段路程，每一段路程也需要一定时间，但这无穷多个时间构成的是收敛数列，也就是说，这个无穷数列的总和是有限的。假设阿基里斯速度是10m/s，则这无穷多个时间的总和是10/9s，即

但是数学家们显然回避了另一个问题，就是阿基里斯如何在有限的时间里完成这无穷多个过程？只要是无穷，那就没有尽头，他怎么能一眨眼间就完成了呢？

3.2 玄而又玄的无穷

事实上，问题就出在这个无穷上。无穷大和无穷小都是数学中制造出来的很玄虚的概念，很多悖论都是在此基础上产生的。为什么说无穷大和无穷小很玄虚呢？我们来看看下面的例子。

正整数有无穷多个，正整数的平方也有无穷多个，即

那么到底是正整数多呢，还是它们的平方数多呢？数学家们认为它们是一样多的，因为上下两列数字建立了一一对应关系。

可是从另一个角度看，平方数明明只是正整数的一部分，平方数应该远远少于正整数啊。从这个角度来看，平方数只和正整数中的一小部分建立了一一对应关系，即

这两个数列都包含无穷多个数，也就是说它们的个数都是无穷大，那么这两个无穷大到底是什么关系呢？真是让人困惑。

无穷小也很玄虚。无穷小到底是多小？无穷小加无穷小是多少，无穷小乘无穷小呢，都是无穷小吗？多少个无穷小相加才能不是无穷小呢？恐怕谁也说不清楚。

无穷。图片来自网络

造成上述糊涂账的原因就在于，无穷大和无穷小都是人们头脑中想象出来的东西，在真实世界中是不存在的！

事实上，人人都知道阿基里斯很快就能追上乌龟，既然如此，那就证明芝诺这个推理的基础是错的，也就是说，他不能将追赶的过程分成无穷多个部分，时间和空间是不能无限分割的，或者说，时间和空间是不连续的！

3.3 时空是量子化的

现代物理理论认为，时空是不能无限分割的，时空也存在着不可分割的基本结构单元，长度的最小单元大约是10−35m，时间的最小单元大约是10−43s，低于这两个值的时空是无法达到的，也是没有意义的。

由此看来，时空也是不连续的，也是量子化的，时空流逝就像放电影一样，一帧一帧叠加起来，看上去是连续的，实际上是以我们人类察觉不到的微小单元在前进。

普朗克长度实在是太小了，要知道，原子的尺度是10−10m，原子核的尺度是10−15m，而普朗克长度比原子核还小20 个数量级。打个比方来说，如果把普朗克长度放大到大头针针尖大小，那么大头针就会有宇宙那么大。普朗克时间也极其微小，这正是我们以为时空是连续的原因。

3.4 运动是连续的吗？

既然时空是不连续的，那么很自然就会得出运动也是不连续的结论。由于目前实验条件的限制，科学家还无法直接观察到微观粒子的运动状态，因此对不连续运动的研究比较少，而且还停留在理论阶段。

近几年有学者提出了一个尝试解释运动本质的“量子跳跃／量子停止”假说。这一甚为大胆的假说认为：当把某一粒子的运动的宏观轨迹无限细分之后，细分后的每一段只能是由两种状态组成：一是“量子跳跃”，指粒子由空间的一点运动到另一点，而时间在这一过程中是停止的；另一状态是“量子停止”，即粒子停止在空间内的某一点，而时间是流逝的。图3-2中，Δr 表示量子跳跃的距离，Δt 表示量子停止的时间。

爱因斯坦早已在相对论中指出时间和空间构成了四维时空，我们是在四维时空中运动。“量子跳跃／量子停止”假说则指出：粒子只能在时间维度和空间维度中轮流运动，而在四维时空里连续运动的状态是不存在的。这种假说是否正确当然现在没有定论，但不连续运动这一问题却值得我们深思和探讨。

3.5 量子化才是世界的本质

既然无法找到真正连续的东西，那么连续只能是数学中的一个理想化的概念，在物理学中，在真实的世界中，量子化才是世界的本质！所以说，虽然普朗克自己并没有意识到，但他的量子化假设却开启了人类真正认识世界的大门。

需要特别说明的是，量子化和不连续也是有区别的。打个比方，假如说能量量子是1，那么能量的取值就只能是：

1，2，3，4，…

即1 的整数倍，这叫量子化。如果你给定一系列能量，比如说：

1，1.5，2，2.5，…

尽管也是不连续的，但却与量子化不符。也就是说，量子化是不连续的，而且是有严格限定条件的不连续。

这看起来好像也是难以理解的，不过当你想想构成世界的原子只能是1个、2 个、3 个……电子只能是1 个、2 个、3 个……基本粒子只能是1 个、2 个、3 个……而没有半个。类比一下，你应该就能理解为什么能量也是1 份、2 份、3 份……了吧。

（摘自《从量子到宇宙》，作者：高鹏。）

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