亲和数对（亲和数的发现与研究）

2500多年前古希腊的毕达哥拉斯认为“数是万物的本质”，整个宇宙是数及其关系的和谐的体系由于他们花了很多的时间在研究“数”的分类与不同类型的“数”的性质，他们发现了有很多有意思的数的特性，毕达哥拉斯完全被这些数的神秘性质吸引住了，由此才产生“万物皆数”的理念，而且“数”的研究一直是毕达哥拉斯学派最主要的任务，下面我们就来说一说关于亲和数对?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

亲和数对

2500多年前古希腊的毕达哥拉斯认为“数是万物的本质”，整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。由于他们花了很多的时间在研究“数”的分类与不同类型的“数”的性质，他们发现了有很多有意思的数的特性，毕达哥拉斯完全被这些数的神秘性质吸引住了，由此才产生“万物皆数”的理念，而且“数”的研究一直是毕达哥拉斯学派最主要的任务。

1什么是亲和数？

亲和数是这样一对正整数a和b，使得a的所有真因子的和等于b，而b的所有真因子的和等于a。亲和数问题最早由毕达哥拉斯学派发现和研究的。他们在研究数字的规律的时候发现有以下的性点的两个数：

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110=284，

1 2 4 71 142=220，

就是220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它们的和是284；284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。这是最早发现的一对亲和数，也是最小的一对亲和数。

考虑到1是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”。

毕达哥拉斯学派的学者还注意到整数48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，这8个数都是48的因子，这些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它们的和又恰好是48。48与75这一对数叫做“半亲和数”。不难验算出140与195也是一对半亲和数。

2更有趣的亲和链更有趣的是人们还发现了亲和链：2115324，3317740； 3649556，2797612。就是第一个数的因子之和是第二个数，第二个数的因子之和是第三个数……第四个数的因子之和又恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。一些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计算出其他的数。如12496与其他四个数构成一个五环亲和链。有计算器的读者不妨试算一下，补上其余的四个数。

3对亲和数有兴趣的人大约在公元9世纪，杰出的阿拉伯数学家本·科拉建立了一个有名的亲和数公式：

设a=3·2^x-1，b=3·2^x-1-1，c=9·2^2x-1-1， 这里x是大于1的自然数，如果a、b、c全是素数的话，那么2^x·ab与a^x·c。便是一对亲和数。

例如，当x=2时，我们不难算出a=11，b=5，c=71，它们全都是素数，所以

2^x·ab=2²·11·5=220； 2^x·c=2²·71=284。

后来的人们对亲和数研究一直保持着极大的兴趣，特别是大数学家费尔马、笛卡尔和欧拉等都曾经研究过亲和数。1636年法国数学家费马发现了第二对亲和数，它们是17962与18416。1638年笛卡尔给出了第三对亲和数。第三对和第四对亲和数，即17926与18416及9363548与9437506。

要数对亲和数做过比较深入研究和为寻找亲和数花了很多功夫的人应当是瑞士的著名数学家欧拉。1747年大数学家欧拉一下子找出了30对，3年后，1750年欧拉向公众宣布了另外的30对亲和数，这样亲和数的数量又增加到了62对，并给出了一个有62对亲和数表。这样大的进展真的给人们一个大的惊喜。可是这样一来，人们反倒觉得既然大数学家欧拉都已经研究过亲和数了，而且他一个人就发现了60对亲和数。欧拉算出了长达几十位、天文数字般的亲和数，那么应该能够计算的数可能都被欧拉找出来了，肯定不会有什么遗漏。

但是，让人没有想到的是，除去最小的220与284之外，另一对亲和数1184与1210竟然被欧拉和另外几位数学大师都漏过了。这对亲和数是在一百多年之后，当“亲和数”的话题不那么热了，似乎已被世人淡忘的时候，1886年一个16岁的意大利男孩帕加尼尼发现这对亲和数，如果把亲和数按从小到大的顺序排列，那么这个少年发现的亲和数是排在第二位。这也可以说明一个现象，就是“百密一疏”，被漏过的恰恰是近在第一对亲和数身旁的第二对1184与1210，最容易的反倒是被人忽略了。

对于亲和数的性质我们知道的还不多，能否用一个公式求出所有的亲和数也不清楚。但是随着计算机的性能不断地提高，利用计算机计算亲和数要比过去容易得多，可以找出更多的亲和数。

目前已经知道的有1000多对亲和数，而10000以内的只有5对，在100000以内有13对，它们是：220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368、10744和10856、12285和14595、17296和18416、63020和76084、66928和66992、67095和71145、69615和87633、79750和88730。

在13对亲和数中，要么是偶数对，要么是奇数对，没有一奇数一偶数的，而且偶数的居多，奇数只有3对。后来的两千年内虽然对亲和数仍然也进行过一些的有意义研究，但是一直没有发现新的亲和数。

亲和数到底是有限对还是无限对呢？到底有没有奇偶对呢？有没有一般公式呢？这些问题到现在还没有解决，等待人们去研究探索。