数学中考平行四边形的压轴题（您知道什么叫半对角四边形吗）

学习使人收获知识，收获知识使老黄感到快乐！2021年浙江宁波的中考数学压轴题，就是一道能让您涨知识的题目。它教会我们什么叫半对角四边形，并且如何运用这个新知识解决中考数学压轴题。题目是这样的：

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D/2, ∠C=∠A/2, 求∠B与∠C的度数之和；

(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,假设边AB上存在一点D,使得BD=BO.∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证：四边形DBCF是半对角四边形；

(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G.当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.

解：(1)如图1, 在四边形ABCD中, ∠D=2∠B，∠A=2∠C，

且∠A ∠B ∠C ∠D=3(∠B ∠C)=360度，

∴∠B ∠C=120度.【送分题，但这个结论对第(3)小题很重要，是解题的关键】

(2)如图2, ∵BE平分∠OBA，∴∠DBE=∠OBE,

又BD=BO, BE=BE, ∴△DBE≌△OBE(SAS),

∴∠BDF=∠BOA=2∠C,

连接OC, 则∠AOC=180度-∠OAC-∠OCA=180度-2∠OAC=180度-∠AFE=∠CFD,

∴∠CFD=∠AOC=2∠CBD,

∴四边形DBCF是半对角四边形. 【严格按照半对角四边形的定义来证明】

(3)由(1)(2)知∠BCF ∠CBD=120度,【(2)提供了四边形DBCF是半对角四边形的条件，(1)则提供了半对角四边形较小的一组邻角的和等于120度的性质】

∴∠BAC=180度-(∠BCF ∠CBD)=60度,

∴∠BOC=2∠BAC=120度,∴∠HBG=(180度-∠BOC)/2=30度,

在Rt△BGH中, HG/BG=HG/DH=1/2,∴S△BGH/S△BDH=1/2,

∴S△BGH/S△BDG=1/3,【思路是先求三角形BGH和三角形BDG的面积比，再求三角形ABC和三角形BDG的面积比，最后求两个比的商，就是所求的△BGH与△ABC的面积之比】

又DH=BG=BH/cos30度=2根号3BH/3,【接下来各边的长都用含BH的式子来表示，当然也可以选择用含其它线段，比如半径BO的式子来表示，只要统一形式就可以了，但不要轻易设BH或BO为1，因为那样遇到加减运算时，容易出错】

BO=BD=根号(DH^2 BH^2)=根号21 BH/3,

BC=根号3 BO/2=根号7BH,【顶角为120度的等腰三角形，底边是腰长的根号3倍】

过O作OM⊥AB于点M, 则△OBM≌△DBH,【省略了证明过程，它运用的是ASA的判定定理。这种省略是允许的】

∴BM=BH,∴AB=2BM=2BH,

∴S△ABC/S△BDG=(2×根号7)/(根号21/3×2根号3/3)=3, 【其实三角形ABC和三角形BDG在BC上的高的比，等于AB与BD的比，而底边的比，就是BC与BG的比，两个比的积，就是面积的比，约掉BH^2后，就得到这个式子了】

∴S△BGH/S△ABC=(S△BGH/S△BDG)/(S△ABC/S△BDG)=1/9.

老黄的方法可能不是最简便的方法，胜在比较直接。如果您有其它更好的方法，不妨分享出来！