小学数学很难的求阴影面积的题（一道看似简单的小学阴影面积题的高级解法）

还是一道网上十分常见的求阴影面积题，这道题看着很简单，但是实际上并没有什么简单的算法（并不能用所谓的割补转换等方法计算）。

问题描述：正方形边长为a，四个以正方形顶点为圆心，以边长长度为半径的圆分别相交于EFMN，求阴影面积。

显然阴影面积CDE等于ADF面积，DEF面积等于BMN面积。

把阴影CDE面积记为S1，DEF面积记为S2，MNEF面积记为S3。

由弧BMFD和弧BNED组成的图形面积很容易求，

S3 2S2=πa^2/4-（a^2-πa^2/4）

=πa^2/2- a^2

=（π/2-1）a^2

接下来只要求出S3即可。

S3=正方形EFMN面积 四个扇形DMN面积-三角形DMN面积

三角形DEF看着像是等边三角形（实际上就是）证明过程如下：

ΔDCM为等边三角形，∠MDC=60°，∠ADM=30°

同理ΔADN为等边三角形，∠ADN=60°

所以，∠ADM=∠MDN=∠NDC=30°

所以DN这条线上的任一点到M和C的距离就是相等的，即MN=NC，也就相当于EF=FD，而DF=DE，ΔDEF为等边三角形。

MN=2asin15° （sin15°=（√6-√2）/4）

SΔDMN=DM×DN×sin30°/2=a^2/4

正方形MNEF面积=4a^2×（sin15°）^2

=（2-√3）a^2

扇形DMN面积=πa^2/12

图形MNEF面积S3=（2-√3）a^2 4×（πa^2/12- a^2/4）

=（1-√3 π/3）a^2

图形DEF面积记为S2={（π/2-1）a^2-（1-√3 π/3）a^2}/2

=(π/6 √3-2) a^2/2

阴影面积S1= {a^2-πa^2/4-(π/6 √3-2) a^2/2}/2

=（1-√3/4-π/6）a^2

作为一名经历过高等数学洗礼的当代大学生，算到这里不禁眉头一皱，接下来就为大家介绍高等数学解法。

圆C1：（x-a）^2 (y-a)^2=a^2

圆C2：x^2 （y-a）^2=a^2

交点A（a/2，(2-√3)a/2）

面积即为曲线C2在（0，a/2）之间与x轴所围面积的2倍，也就是积分的2倍。

曲线C2：y=a-√(a^2-x^2)

积分：

积分的2倍即为所求，（1-√3/4-π/6）a^2与上面计算结果一致。

嗯。确实简单不少……