同济大学高数第七版函数与极限（数学笔记-同济第七版高数）

对于前面的映射不必多说，高中已有了解，本节只学习函数相关知识

N：自然数 Z：整数 Q：有理数 R：实数

符号函数：sgn(x)={ 1 x>0

0 x=0

-1 x<0

狄利克雷函数：y=D(x)={ 1 x∈Q

0 x∈R|Q

取整函数：y=[x] (向下取整)

（1）反函数

当y=f(x) 在x∈D 严格单调（严格单调是反函数的必要条件）

x可以表示为x=f^(-1)(y)

例：求y=ln(x √(x^2 1))反函数

解： e^y=√(x^2 1) x (1)

∵（√(x^2 1) x）x（√(x^2 1)-x）=1

∴（√(x^2 1)-x）=（√(x^2 1) x）^(-1)=e^y^(-1)=e^(-y)

即（√(x^2 1)-x）=e^(-y) (2)

(1)-(2)得 2x=e^y-e^(-y)

即 x=(e^y e^(-y))/2

（2）复合函数

设函数y=f(u)的定义域为Df

函数u=f(x)的定义域为Dg，值域Rg存在于Df中

则y=f[g(x)]称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数它的定义域是Dg

4、基本初等函数

(1)幂函数：x^a （a∈R并且a为常数）

(2)指数函数：a^x (a>0并且a≠1)

(3)对数函数：㏒a(x) （a>0且a≠1，当a=1时，记为y=ln x）

(4)三角函数：sinx cosx tanx cotx secx cscx

(5)反三角函数：arcsinx arccosx arctanx arccotx

5、初等函数

初等函数是由常数和基本初等函数经过四则运算和复合运算而成

6、初等性质

（1）奇偶性

（2）单调性 （要保证定义域关于原点对称）

（3）有界性 （1、由上界；2、有下界；3、有界）

（4）周期性

7、补充定理

一个函数的定义域是(-a,a)（a>0），它必定是由一个偶函数和一个奇函数构成

证明：（反证法）

设f(x)=g(x) h(x) (1)，其中g(x)和h(x)分别为偶函数和奇函数

那么：g(-x)=g(x) h(-x)=-h(x)

f(-x)=g(-x) h(-x)=g(x)-h(x) (2)

(1) (2)->f(x) f(-x)=2g(x)->g(x)=[f(x) f(-x)]/2

(1)-(2)->f(x)-f(-x)=2h(x)->h(x)=[f(x)-f(-x)]/2

由此得出

g(-x)=[f(-x) f(x)]/2=g(x)

h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)

符合假设，即证！

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