小橙子数学思维（数学极客:花椰菜）

读后感：这本书实在太有趣，这数学实在太美丽

书中摘记：

第一部分 形　状1 奇妙的罗马花椰菜2 测量海岸线的长度3 有趣和有效的肥皂泡4 波洛克的画里有数学吗5 科赫雪花6 你生活在第四维空间吗7 造出更好的传送带8 鞋带与DNA的数学联系9 地铁线路图遗漏了什么10 日本折纸艺术11 绳结背后的数学12 自行车齿轮为什么大小不同13 雨滴与泪珠的形状是不同的14 交通标志为什么有不同的形状15 五角大楼为什么是五角形16 三角形17 井盖为什么是圆的18 乐高积木19 会飞的四边形20 疱疹和食盐有什么共同点21 高尔夫球表面为什么有凹痕22 高斯与比萨23 短程线穹顶24 数学幻想小说25 足球不只是一个球26 鲁比克魔方——玩具还是数学奇迹27 纸张尺寸28 用地图描绘地球的不同方式29 M＆M巧克力豆30 七巧板31 天鹅绒绳的数学问题32 吊桥是如何承重的第二部分 行　为33 公交车为什么成群出现34 让你在赌场不再输钱35 怎样让电影赢得奥斯卡奖36 如何不被雨淋37 最快的结账排队法38 怎样准备图灵测试39 六分仪40 分摊房租41 公平切蛋糕42 让包裹配送更高效43 算法对互联网体验有什么影响44 解释蒙提霍尔问题45 抛球杂耍背后的数学46 纳什均衡47 椋鸟群背后的数学48 让堆放井然有序49 法庭中的数学50 40%的降水概率究竟是什么意思51 基于数学的应试策略52 免疫系统也会做数学53 谷歌翻译的工作原理54 不要紧跟前车行驶55 巴西果效应56 路多不代表流量少57 一张纸能折多少次58 真的有更好的登机方法第三部分 图　案59 铺嵌60 领带的177 147种打法61 音乐与数学鲜为人知的关联62 围棋63 棋盘与麦子64 汉诺塔65 鸽巢原理66 迷宫67 解开数独需要几条线索68 梵高画里的数学图案69 穿过一个房间堪称数学壮举70 信息论71 社交媒体的嫉妒72 录音如何变成数字音乐文件73 一张地图需要几种颜色74 数学创造了孩子最喜欢的电影75 糖果消消乐76 你是否呼吸过恺撒的最后一口气77 计算机的工作原理78 同一天生日的概率79 教堂钟与数学80 贝叶斯统计81 棒球与自责分率82 细菌分裂83 星盘84 休止角第四部分 特殊数字85 让人大惊小怪的π86 质数87 网络安全88 无穷性的奇迹和挫败89 自然中的斐波那契数90 杜威十进分类法91 随机数真的是随机的吗92 十的次方93 公制单位94 阿秒95 艺术与建筑中的黄金比例96 DNA 的黄金比例97 孩子的玩具来画外次摆线98 寻找外星人的数学原因99 蝉会用数学保护自己的物种吗100二进制

可以假设蝉每隔6年破土而出，由于6可以被1，2，3和6除尽，生命周期包含这几个数字的动物将与蝉的生活保持同步，这样一来，每一代初生的蝉更容易遭到攻击。

费米悖论

物理学家恩利克·费米（1901—1954年）对地外文明也深感兴趣，他提出了所谓的费米悖论。根据费米的计算，目前为止，地外文明应该已经跟人类联系上了。但现在并没有，费米不禁问道：“他们都在哪儿呢？”

1961年，搜寻地外文明计划的创始人之一法兰克·德雷克博士提出了一个方程式，给出了搜寻能够发射人类在地球上可以检测到的信号的地外文明时应当考虑的所有因素。德雷克提出的方程如下：N＝Rfpneflfif其中，N———整个银河系中，发射人类能检测到的电磁信号的地外文明总数R———能够支持智慧生命的恒星形成率fp———能够支持智慧生命的恒星中，有行星环绕的恒星比例ne———每个恒星周围能实际支持生命的行星比例fl———能支持生命的行星中，实际有生命的行星比例fi———有生命的行星中，有智慧生命的行星比例fc———发射人类能检测到的信号的文明所占的比例L———这些文明向太空发射信号的时长在这个例子中，数学语言的使用让集体的构思有了成果，并且阐明了项目的参数。

寻找外星人的数学原因数学概念：概率此刻，位于旧金山北部的一组巨型望远镜正在搜寻太空中地外文明的踪迹。

玩万花尺可以让我们加深对外次摆线、内次摆线和旋轮线的认识。

很多人相信，几千年来，人们一直在艺术和建筑中应用黄金比例。然而，有些数学家提出，没有证据可以证明这一点，而吉萨金字塔、万神庙甚至列奥纳多·达·芬奇画里的黄金比例都只是传说。(测量？)

黄金比例是1∶1．618（第二个数字其实是无穷无尽的，而且永不重复，这里为了方便才取这个近似值。如果在小数点后多加几位数，它将是1．61803398874989…）。

闪电侠

闪电侠是一个可以以光速奔跑并且能感知持续时间不超过1阿秒的事件的漫画英雄，当然，这些事件出现的时间不会超过我们一眨眼的工夫。

下面是公制单位目前的前缀表：尧　1024，1000的8次方泽　1021，1000的7次方艾　1018，1000的6次方拍　1015，1000的5次方太　1012，1000的4次方吉　109，1000的3次方兆　106，1000的2次方千　103，1000毫　10－3，1／1000微　10－6，1／106纳　10－9，1／109皮　10－12，1／1012飞　10－15，1／1015阿　10－18，1／1018仄　10－21，1／1021幺　10－24，1／1024

阿秒究竟有多短？1阿秒等于1／1000000000000000000秒（10－18秒）

这段时间到底有多短？1阿秒内，光可以走过3个氢原子的距离。理解这段短得惊人的时间的另一种方法是类比：1阿秒之于1秒，相当于1秒之于320亿年（接近宇宙年龄的3倍）。

在最基本的层面上，数学研究的是数，其中有的数让人觉得非常不可思议。例如，人类测量过的最短时间是多少？

其他基本的公制单位还有电流单位安培，热力温度单位开尔文，物质数量单位摩尔，以及发光强度单位坎德拉。公制单位最吸引人的一点是，究竟如何定义基本单位。

随机数和

随机数发生器不只是科学家和数学家的工具。如果你喜欢玩，可以利用几个生成随机号码的网站，不过切记，那不一定会让你中奖。

科学家们转而靠计算机来生成随机数，但计算机本质上还是确定性机器（它们遵守规则），所以计算机生成的随机数也不是真正随机的。如果某个人把握了计算机挑选数字的算法，知道了它的种子，或者说初始值，理论上，这个人就能预测出生成的数列。这个数列貌似是随机的，但其实并不是。因此，基于计算机的随机数发生器也被称作伪随机数发生器。

然而，通过利用研究无线电噪音、光子的量子行为、热放射等物理现象的设备，科学家们又向生成真正的随机数走近了一步。这些现象可以决定各自的随机性，而无须使用人为创造的算法。随着我们越来越依赖互联网，也越来越依赖随机数，我们需要我们能得到的一切真正的随机数。

需要传送敏感信息，需要靠生成随机数来建立安全的连接（参见第87章）。当一组数没有可辨别的规律，无法预测一个数后面的另一个数是什么时，就是随机数。掷骰子得到的数也是随机的，但由于网上交易量太大，对随机数的需求太多，掷骰子———用帽子抽签或抽扑克牌———都是行不通的。

医学测量所使用的数字可以量化我们的健康状况（如血压和胆固醇水平），让我们更实际地了解自己身体难以感知的部分；还有的数字被用于归类和排列，比如书脊上的数字，它们属于杜威十进分类法。

苹果树的叶序比是2∶5，黑莓树和榛树的叶序比是1∶3。

用数学来考察世界，你将发现，自然中到处都蕴藏着斐波那契数。

这个数列的有趣之处在于，数列里的数变大得相对较快。斐波那契数列的另一个特征更值得注意：令人惊讶的是，自然中似乎也蕴藏着斐波那契数。

有穷论并不是所有的数学家都接受无穷的概念。数学哲学有一个分支被称为有穷论，它的拥护者坚信，只有有穷的物体才是真实的，正如数学家利奥波德·克罗内克所说：“上帝只创造了自然数，其余都是人做的工作。”

虽然无穷性令人着迷，但和很多与数学相关的概念一样，它也让我们觉得困惑和沮丧。

无穷的概念也激发了一些听起来有些古怪的想法。在19世纪晚期和20世纪初期，数学家乔治·康托尔提出可能存在不同大小的无穷性，自然数（1，2，3，4，…）和实数（包括π，1／3和45．6778765等）都是无穷的，但实数的无穷性大于自然数。对无穷性的思考有助于我们理解其他一些与直觉相反的概念。你可能觉得，1英尺长的线段上的点肯定比无限长的直线上的点少，但其实两条线上的点都是无穷的。

艺术中也存在无穷。M．C．埃舍尔曾画过蚂蚁沿着一条莫比乌斯带，在没有终点的旅程中爬行。在名为《巴别塔图书馆》的短篇小说中，作者豪尔赫·路易斯·博尔赫斯想象那里有无穷无尽的书，包含了每一种可能的字母和标点组合，收藏着每一本已经出版和将要出版的书。

无穷有时被当成一个可能很大的数，这种理解并不准确。无穷并不是一个数，而是一个概念，表示无限、无尽和无边，它在数学里反复出现。我们说，π小数点后的数是无穷的，1除以3的商也是如此。在几何学中，我们说，一条直线上有无穷个点，直线向两端无限延展。在数学领域，无穷既是一个“本地人”，又是一个“外来户”。

比特币是第一种要依赖加密系统的货币，为了使用你的比特币，你必须有两个密钥：一个是公开密钥，另一个是私人密钥，就像个人识别码和用户密码。这两个密钥在数学上是相互联系的。(就像QQ账号和密码)

目前来看，电子商务以及网上银行和联机通信总体上还是安全的，只希望有哪些数学家能设计出一个更新、更安全的加密系统。

过去几年里，一直有谣言称RSA加密系统并没有我们想象的那么安全。这个系统的安全性取决于随机质数的生成，但负责生成随机质数的程序———随机数发生器，好像不一定总能生成完全随机的数字。于是，这个差异就给了黑客可乘之机，让他们发现两个质数的相似性，从而盗走敏感信息。

但不要忽略了另外一个数论事实：想要对两个大质数的乘积进行因式分解是极其困难的。

是什么阻止网络大盗拦截和盗取这个号码的呢？是数学。网络安全或者说公开密钥加密的基础是质数，一种只能被1和它本身除尽的特殊数。

费马质数

有些质数甚至更奇怪。例如，费马质数是具有形式22n＋1的费马数，目前仅知的费马质数是n等于0，1，2，3，4时的结果———3，5，17，257和65537。

第一步：我们来造一个数，姑且称为“乔治”，假设它是所有质数的乘积加上1（不要忘了，我们假定质数是有限的），我们知道，乔治要么是质数，要么是质数的乘积，我们可以立马发现，如果乔治是一个质数，我们已经发现了一个原本没有的质数———乔治！我们现在可以停下来自豪一下了，因为我们的发现是站得住脚的，不论已经有了多少个质数。

假设是另外一种情况：如果乔治不是一个质数，那么，它必然是两个或多个质数的乘积，但是我们已知的质数没有一个能满足条件，因为如果把它们相乘，最后总有一个余数1。因此，必然还有一些质数是我们还没有发现的，当它们相乘，就能得到乔治。我们再一次发现，对于任何一个质数集合，总会有一些质数不在这个集合内。这只是证明数学推理的力量和魅力的一个例子而已。

1．首先记住，任何一个数要么是质数，要么是若干质数的乘积。2．其次，我们要用的证明方法是反证法：我们将假定要证明的问题的反面。

质数的有趣之处在于，它们像是其他数的最基本的构成元素，其实，质数有时也被称作数学的原子，但质数的出现并不符合任何规律。根据基本的运算法则，任何一个比1大的数要么是质数，要么是若干质数的乘积。

有些数是很特别的，其中最特别的要数质数。质数只能被1和它本身除尽。

对数学极客来说，3月14日是个特殊的日子，这一天是π日，庆祝活动从下午1：59开始（月、日和时刻共同组合成3．14159这个数字），π日是由美国旧金山的科学、艺术和人类历史实践博物馆探索科学博物馆发起的。

我大约是它的2倍高，可是越测量越发现，很难得到一个精确的数字”。这个问题怎么会没有一个确切的答案呢？这就是π令人困惑的地方。

被称作π，它是个希腊字母，但名称并不重要，就算叫它“弗兰克”“山姆”或者“弗雷西亚”也无所谓。真正重要的是它在我们的世界里有多么常见———每个圆都离不开它，多么奇怪呀！

这里说的相同是指比率，或者说比较差异。

这个特征是普遍的，适用于任何时间、任何地点的圆（假定我在这里说的圆都是平面的）。

食盐的休止角是32°，其他物料的休止角可能更大，比如树皮和椰子片的休止角是45°；也可能更小，比如湿黏土的休止角是45°。人们甚至可以利用休止角来计算一堆物料，如沙砾，是不是会崩塌。

下次家庭聚会的时候，试试把盐从盐罐里倒出来吧，告诉其他人你是在做数学实验！

其实，所有颗粒物料，包括沙子和石块，都有休止角，甚至是山崩时从山上滚落的巨石。另外，休止角并不是随机的，它每次出现时都不会变化，而是取决于一些因素的组合，包括颗粒的大小、颗粒是光滑的还是有尖突的、颗粒之间是否有水分（可能让颗粒黏在一起），以及下表面有多粗糙。

你可以在任何地方找到数学，甚至是你的餐桌上，比如在一张纸上倒一堆盐，它会形成一个锥体，虽然看着不美观，但也能体现一个数学现象———休止角，即盐堆表面与桌子的水平面所成的角。

星盘手表戴上一只星盘手表（网上有卖），让别人看看你对数学的痴迷吧，不过它可能太小了，一点也不实用！

总而言之，没有立体投影，就没有海上导航或者星座命运预测，这一切都是因为数学。

●星盘上还有一个测高仪，帮助观测者测量天体的高度

●星盘顶部边缘处还有一个圆环，方便用绳子将它挂起来（辅助计算）。

科学家对细菌是如何复制的了解得越多，就越有助于他们开发出新一代的抗生素。如果你下次生了病能迅速康复的话，可能要感谢数学的功劳！

（通过实验，科学家了解了这个过程，但尚不清楚具体的步骤）

生物学家费了很大工夫也没弄清楚细菌复制机制的内在原理，反倒是数学帮助解决了这个问题。

但是，还有一个工具不容忽视，那就是数学，它有助于判断细菌的生命周期，从而促进人类的健康。

在每个人的生命中，最确定的事要数死亡和纳税，或许除了细菌的存在以外。

自责分是由投手而不是其他运动员的失误导致的。

可以看看这名投手赢过多少场比赛。

只看比赛成败并不能判断某个投手的技能。

或许没有什么体育项目像棒球那样与数学有着如此密切的联系了。统计涉及棒球运动的方方面面，从安全打，到防守，再到投球，没有基本的数字知识，研究棒球者将寸步难行。可是，人们是怎样计算这些数字的呢？

贝叶斯推断的一个经典例子是看太阳升起的新生儿，这名婴儿每天早上都观察到太阳升起，所以越来越相信太阳实际上是在早上升起，而且未来的早上也一定会升起。在这个例子中，婴儿每天的观察就是不断更新的信息，最终成为影响婴儿对未来日出的预期的一个因素。

不过，贝叶斯统计不仅可以帮你计算赢牌的概率，还可以挽救生命。举个例子，它曾被用来寻找2013年在长岛沿海的捕虾船上落水的渔民约翰·奥尔德里奇。海岸警卫队估算了奥尔德里奇落水最可能的时间，利用搜救优化计划系统（SAROPS）这个计算机程序分析了风流和洋流，找到了他最可能的位置。

此外，根据贝叶斯统计，随着新信息的不断出现，应该不断调整概率。在21点游戏中，你不应该只考虑拿到3的概率，或者纯粹地分析数据，也要考虑哪些牌已经派出去了以及庄家的牌技，随着新信息的出现，不断修正概率。

假如你正在玩21点，手里有一张9和一张K，你可以利用频次统计来计算自己下一轮凑齐21点的概率。

9月16日

根据美国国家公共广播电台数据记者马特·斯蒂尔斯的调查，9月16日是年龄在14～40岁的美国人最常见的生日。他发现，7月和9月是最常见的生日月份，最不常见的生日是2月29日，其次是12月25日。

下次当你身处一大群人中时，不妨调查一下其他人的生日，看看结果怎样。

但不要忘了，不只是你在跟其他人对比生日，其他人也在相互对比！

现在，解释一条常在数学思考中发挥作用的原理：要证明某件事是真的，可以证明它的反面是假的。

程师懂得如何利用逻辑门这种实际的物理形式来表示这些连接词，最终，这些逻辑门被集成到了晶体管和计算机芯片中，支撑着计算机每天所做的基本运算。所有运算的基础都是以电子形式的“真”或“假”为基础的。所以说，在精致的计算机屏幕下面，跳动着的是数学的心脏。

布尔的创新之处在于，他发现我们可以用数学符号来表示命题的逻辑论证。

答案在于数学。计算机电路是根据1815—1864年英国数学家乔治·布尔提出的原理构造的，布尔因为将代数方法应用到逻辑学（一个研究人们在假设的基础上得出结论的规则的学科）而声名鹊起，逻辑论证（通过一系列陈述和推理建立论点）的一个经典例子与古希腊大哲学家苏格拉底有关：凡是人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。这种论证形式被称为三段论，它很有趣，因为只要前两个前提是真的，结论就一定为真。

假设在上述计算中，我们做了一系列（合理的）假设。实际上，假设在整个数学领域中发挥着重要作用，例如，欧几里得的几何推理就是基于五个假设而做出的，其中一个是：在任何两点之间都可以画一条直线，另一个是：所有直角都相等。

《数盲：数学无知者眼中的迷惘》

坦率地说，数学有时能揭示人类经验中令人惊骇的一面。举个例子，你刚才吸入的分子是某个生活在几千年前的人垂死时呼出的最后一口气，这个概率有多大？数学可以回答这个问题，而且它的精确度高得惊人。怎么可能？

问题归约法

研究者通过问题归约法来分析糖果消消乐背后的数学，也就是说，如何把一个问题转换成另一个问题。问题归约法可以帮助数学家确定，要解决的问题究竟有多难。如果新问题可以被转化成初始问题，说明两个问题的难度相当。

计算机科学家和数学家很想一劳永逸地确定NP问题和P问题在根本上是否相同，也就是说，容易检验的问题是不是也容易解答。P＝NP问题被美国克雷数学研究所确定为千禧年大奖难题，能够解答这个问题的人将获得100万美元的大奖。

过去几年里，数学家们发现，我们今天在Facebook和移动设备上经常玩的游戏糖果消消乐，实际上反映了数学当中一个最难的问题。数学大师们已经证明，这个游戏是一个所谓的NP问题，也就是说，它没有简单、直接的解法，尽管它的解法很容易检验。NP问题不同于P问题，后者可以很快找到答案。

这个例子是为了提醒大家要经常备份。

皮克斯公司也发明了新的数学技术，来让锐利的边缘显得平滑。

皮克斯公司利用算法（一系列指令）来设计复杂的物体和行为，他们知道，他们将需要一套全新的算法来设计梅莉达的头发，而这套算法将包含10万个不同的元素。这个问题有多难呢？根据组合学的原则，如果有n个元素，将有n2种方式让这些元素相互碰撞，所以有100亿种方式让所有头发相互接触。

格勒奇定理德国数学家赫伯特·格勒奇证明了四色定理的一个拓展问题：根据格勒奇定理，在一张平面图中，只要不存在三角形（不存在有三个顶点的点），只需要三种颜色就可以得到一样的结果。

四色定理：尽管这是一项有着重要意义的成就，却在数学界引起了争议，因为这项证明利用了计算机。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶傅里叶变换是以1768—1830年的法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶的名字命名的。他在研究固体间传热的时候提出了傅里叶变换。

傅里叶变换也出现在建筑中，尤其是在地震频发的区域。和其他物体一样，小镇或城市里的每栋建筑也都以各自的自然频率振动。如果城市里的一栋建筑受到地震的影响，并且地震引起的振动与建筑的振动频率一样，建筑的振动将会被放大，被毁坏的概率也更大（振动的频率和强度是两个不同的度量）。

为了预防建筑被毁坏，工程师可以利用傅里叶变换分析特定位置的地震频率，“调整”建筑的频率，确保它的频率不会和可能在该区域发生的地震的频率相同。理论上，数学可以防止城市毁于一旦。

人耳也可以进行傅里叶变换。那个单一波被分解成了不同的部分，让我们可以分辨单一的频率和声音，从而更好地与世界交流。

谁知道iPod和数学有着密切的联系呢？事实上，当你把歌曲下载到电脑上，或者在MP3播放器上播放数字音乐文件时，都是在利用被称为傅里叶变换的数学公式。可以把它想象成一个工具：大体上，它可以将复杂波分离成简单波，将简单波合并为复杂波，这些波几乎可以是任何形式的波，包括声波和光波。

取样偏差

这个例子中的样本———洞穴里的遗迹，使结论出现了扭曲。

人们开始缺乏信心：为什么自己的生活没有朋友的那么好呢？这种现象一般被称为友谊悖论。1991年，社会学家斯考特·费得在研究社交网络（当时社交还与计算机和互联网无关）的时候发现，在任何一个朋友网络中，甲的朋友总是比甲有更多的朋友，或者说，你朋友的朋友总比你的朋友多。为什么呢？如果我是你的朋友，你是我的朋友，那么我们两个各有一个朋友，这样看来，友谊似乎是平衡的。友谊悖论的原因在于朋友网络的结构。在任何一个网络中，部分人比其他人更受欢迎，这些人往往比同一网络中的其他人有更多的朋友。因此，从这个网络中随便选一个人，他是这些受欢迎的人的朋友的概率很大。毕竟，受欢迎就意味着有很多朋友，比起那些只有两个朋友的人，你更可能是一个有40个朋友的人的朋友，你是40个朋友当中的一个的概率比是两个朋友中的一个的概率要大。这个理论适用于同一网络中的大部分人，而之所以会出现友谊悖论，是因为友谊的本质和计算的原因。

这些和社交媒体有什么关系呢？友谊悖论不仅适用于面对面的网络，同样适用于电子网络。因此，有很大概率你在Twitter上关注的人的关注者比关注你的人要多，你在Facebook上的大部分朋友比你有更多的朋友。根据两名科学家最近的一项调查，友谊悖论被进一步拓宽了———你的朋友不仅比你有更多的朋友，而且他们可能比你更富有，更幸福。法国图卢兹大学的翁永昊和芬兰阿尔托大学的乔杭玄分析了科学家的网络，只要一起写过研究论文的科学家就被放在一个网络中，翁永昊和乔杭玄发现，在任何一个学术网络中，科学家甲的朋友总是比甲有更多的朋友，他们还发现，甲的朋友的被引用量和出版量也比甲多。翁永昊和乔杭玄确定了这类网络的数学特征，并且发现，如果一个悖论出现在一个网络中，当这些特征满足特定条件时，这个悖论将不仅适用于网络的一个特征，也就是说不仅适用于朋友或被引量的多少，财富和幸福也满足这样的条件。所以说，下次浏览社交媒体感到不自信时，切记其他大部分人都跟你有一样的感觉。

从专业上讲，密码是一个完善的信息编码方式。一个例子是代用密码，一些字母以规律的方式代替其他字母。有些代用密码甚至使用多重字母表。20世纪初期，出现了电机密码，如德国的英格玛密码机，它由机器而不是人来执行替换。

香农也将比特和熵的概念，即特定信息中包含的信息量，联系了起来。下面是他提出的一个有名的方程式：H（X）＝－∑p（x）logp（x）下次发电子邮件的时候，不要忘了克劳德·香农。

有了他的研究，信息论才得以建立，有了信息论，数字计算机、互联网和光碟才成为可能。同时，他推广了“比特”这个术语，即“二进制数字”的缩写，换句话说，香农让未来成为可能。

每过不久，就会出现一个改变历史的数学家，克劳德·香农就是其中之一。

直到最近，数学家们才解决了这个问题。从椅子旁到门口的距离可以用下面这个收敛数列来表示：1／2＋1／4＋1／8＋1／16＋1／32＋…数学家们已经证明，虽然这个数列是无穷长的，但它最终会收敛为一个有穷的数字———1。实际上无穷个小单位可以组成一个有穷的整体这一概念正是微积分的基础，它可以让我们计算曲线下部的面积。

亚里士多德指出，两点之间的距离并非由实际的无穷个点组成，而只是一种潜无穷。

这个方程是他在利用统计学研究湍流时提出的。梵高画笔的旋转中竟然蕴含着如此深刻的意义。

尽管湍流很常见，但用数学来描述它却是十分困难的。要描述湍流，数学家们首先要理解纳维斯托克斯方程的解，它诞生于19世纪，是用来描述流体运动的。（有一个关于湍流和物理学家维尔纳·海森堡的故事，当被问及如果有机会遇见上帝，会对他说些什么，海森堡回答说：“要是见到上帝，我会问他两个问题：为什么有相对论？为什么有湍流？我相信他一定知道第一个问题的答案。”）

NP完全问题2002年，数学家们宣称数独是NP完全的（NP表示非确定性多项式时间）。什么意思呢？实际上，数独没有快速简单的解法，即便确定已知的解法是否正确很简单。

都柏林大学的盖里·麦克奎尔领导的一个数学团队发现，要让一个数独有唯一的解，最少需要17条线索，如果少于17条，数独的解将不是唯一的。但麦克奎尔及其团队未能找出证明方法，相反，他们只是利用计算机计算出所有的可能性。事实上，他们在都柏林的爱尔兰高端计算中心花了约700万小时的运算时间，用上了所有的计算机，因为数独可能的解的数量是个庞大的数字———6670903752021072936960。好在这些研究人员根据不同的解在数学上相等的原则，设计了一个算法，在这个算法的基础上，将这个数字缩小到了可控的大小。

欧拉将桥、岛和河岸抽象成了一个只有节点和棱线的网络，最后证明这样的路线根本不存在。

如果将迷宫想象成一个抽象的物体，忽略它的迂回弯曲、墙的高度以及脚下土地的质地，它就像一条通道，在某些点上出现，指向新方向的岔路。我们可以将这些点称为节点，将连接相邻两个节点的通道称为棱线。从高处俯瞰一个迷宫，我们可以做笔记，再画成只有节点和棱线的图。给节点标上号之后，我们可以更清楚地看到走出迷宫的路线。

对迷宫的研究属于图论和拓扑学领域，这两个领域主要以图的形式来研究物体。

我们也可以利用鸽巢原理来证明纽约人当中一定有两个人头上的头发数量完全一样。每个人的头上约有10万根头发，生活在纽约的人约有800万，一个人的头发数量有10万种可能，可以说相当于10万个鸽巢，而纽约的800万人口相当于800万只鸽子。所以说，我们有10万个鸽巢和800万只鸽子，因此我们可以确定，至少有两只鸽子（或两个人）是在同一个鸽巢里，或者说至少有两个人头上的头发数量是一样的。

可以假设有N个格子和M个物体，且M大于N，那么，其中一个格子容纳的物体必然多于一个。

实际上，超实数是一套新的数，就像有理数和整数，是我们在数轴上通过一系列上下或左右移动而得到的数。欧米伽即是一个特别大的超实数，它被定义为在数轴上向右无限移动，最后得到的数（欧米伽是最小的超实数，但大于所有的实数）。总之，围棋是推动我们发现数学的动力，对全世界数百万人而言，它都是一场数学盛宴。

围棋与数学的关系密不可分。举个例子，围棋的点数超过2×10170个，这听起来是个十分巨大的数字，已知宇宙中的原子数才不过1084个。拿围棋和国际象棋相比，也会出现巨大的数字，当计算机程序下国际象棋的时候，它最多可以提前七个回合预测每一步的结果，但如果让计算机程序来下围棋，它很快就会超载。下国际象棋的时候，计算机可以筛选分析每一回合的600亿种可能，可要在围棋中预测七手的结果，计算机就要筛选分析10万亿种可能。

思考音程的比率有助于我们揭示每天听到的音乐背后的数学。

最动听的一个双音阶组合（或者说音程）是八度音程，即两个间隔一个或半个八度的音的组合。

从另一种意义上说，音乐的数学性又不是显而易见的，但数学仍是全世界所有音乐的基础。这种不可思议的数学特征正是音程的特征，在钢琴上同时弹奏两个音阶，弹出的音阶组合要么悦耳要么难听，要么饱满要么尖细。

如果简化表示打法的形式语言，将领带一端绕另一端的次数从8次增加到11次，可能的打法将有177147种。他和同伴共发现了2046种缠绕的方法，需要11步才能完成。下次如果你厌烦了现在打领带的方法，不要忘记你有太多种选择，可能一辈子都用不完！

对数学的启发可能来自任何地方。

铺嵌也成了数学的肥沃土壤。几百年来，数学家们发现，铺嵌有着独特的形式：●有些铺嵌是周期性的，或者说图形是会重复的；有些是非周期性的，或者说图形不会重复。●有些铺嵌是规则的，由一个规则的多边形（即所有的边长和夹角相等，如正方形）不断重复而成的。●还有些铺嵌是半规则的，也就是说，它们是由一种以上的规则多边形组成的。

对铺嵌的分析还可以更进一步。1891年，俄国结晶学家伊娃格拉夫·费德洛夫证明出，周期性的铺嵌有17种，半规则的铺嵌有8种。

考虑到计算公式的随机性，目前尚不清楚不分配座位这种方法是否更有效。

她是先计算了这么对折需要多长的纸，然后才开始对折的，而且只朝一个方向对折。

巴西果效应数学概念：颗粒对流当你买了一罐坚果，会发现，好像有魔法一样，大的坚果总在上面———这是不可避免的。早餐麦片也是这样：大的颗粒，如美味的果仁块，总是在罐子上层，中部和底部则根本没有。这就是所谓的巴西果效应。通俗的假设认为，巴西果效应与颗粒（包括坚果、麦片、鹅卵石、弹子及其他可以混合在一起的物体）的大小有关。当一堆颗粒相互挤撞的时候，它们会上下移动，尽管距离很短。此时，颗粒之间出现了空隙，而容器边缘的其他颗粒可以移动到这里，填满空隙。但是，大颗粒不能填满小颗粒留下的空隙，结果，它们一直向上移动，直到最上层。一旦它们移动到最上层，就会停留在那里，而小颗粒则先移动到容器边缘，再落到容器底部，这个过程被称为颗粒对流（如果你看过沸腾的开水的话，就亲眼见过对流现象。温度升高时，水分子上升；温度下降时，水分子下沉）。这就是一罐坚果里的数学，对吧？

巴西果与雪崩

如今，爬雪山的人可以穿上遇雪崩自动膨胀的设备，使人和装备的体积变大，当被压在雪堆下时，更可能浮到表面。这种救人性命的设备就是充分利用了巴西果效应。

盖德严重度指数（GSI）是衡量汽车碰撞对车内人员的伤害严重度的一个指数，它的公式如下：GSI＝a5／2（tA）其中，a———加速度t———时间（单位：秒）人的头部能承受的GSI值最大为1000，前提是持续时间很短（只能以毫秒计算）。

通过计算可以发现，如果前车突然爆胎了，你只有1秒的反应时间。因此，紧跟前车行驶绝对不是个好主意。

车开得越快，越容易发生事故。在高速状态下，对其他车辆做出反应的时间缩短了，车辆碰撞的严重度则加重了。但是，时间究竟缩短了多少，严重度究竟加重了多少？数学能给出确定的答案，这可能会鼓励你更安全地开车。

信息论被用于破解密码和通过手机、计算机传递信息。没有信息论背后的数学原理，你口袋里的手机就变成了一块砖头，利用基于网络的计算来翻译的神奇功能也会变成天方夜谭。

统计型机器翻译发源于信息论———研究信号处理、数据压缩和语言的一门应用数学。

通过扫描数以亿计的文件，寻找它们的规律，研究词语通常是怎么翻译的。这一过程完全不依赖已知的定义和语法，被称为统计型机器翻译。

人工免疫系统的一个主要方向是探索如何利用自然现象，如免疫系统的记忆，来解决数学和工程问题。概括来说，人工免疫系统属于人工智能领域，能激发更多的灵感和创新。

计算机模拟结果显示，当白细胞面对十个病毒或细菌时，它们攻击和吞噬这些入侵细胞的路线只比最短路线长12%。对于比针尖还小的细胞来说，这真是令人叹服！

在《数学如何帮助你的生活》一书中，数学家詹姆斯·D．斯坦提出了一种策略，他宣称这一策略能让你的分数提高一个等级[1]（当然，前提是你上了课，学了相关内容）。第一步是了解考试的赋分规则，每个问题的分数一样吗？是不是像学业能力倾向测验那样答错了会扣分？如果答错不扣分，你应该尽力回答每个题目，即使作答的次序是随机的（斯坦的策略只适用于特定类型的试题：判断题、单项选择题和解答题，比如数学和理科考试的题型）。斯坦建议，第一遍先做最有把握和知道怎么找答案的题目，如果一道题所花的时间超过一两秒，应该停下来，跳到下一道题。然后，数数还有几道题，考试还剩多长时间，两下相除，算出每道题应该花的平均时间。另外，绝对不要先答最难的题目，否则，在几道题上花了大把时间，分数却不高，完全可以抓紧时间多答几道容易的题，从而提高分数。单项选择题别人可能跟你说过，做单项选择题，如果不知道答案的话，那就一直选“C”。这可能不是最好的技巧，尤其是当老师深知这一情况，从而让题目的选项均匀分布的时候。最好还是缩小选项的范围，在所学知识的基础上猜答案。不过，如果只有四个选项，就算瞎蒙，选对的概率也有25%。

这个问题非常难。目前为止，数学家们最多只发现19张饼的Pn值是22。事实上，还没有人能给出一个一般的方程式，来计算调整n张饼的次序所需的最大翻转数。

但数学家们总想找出适用于任何数量和任何摆放的一般规律。

数学甚至还会研究你的早餐。

博弈论的一个核心内容是以纳什自己的名字命名的———纳什均衡，指在博弈中，每个参与者即使知道了其他参与者的博弈策略，也不会选择改变自己的策略。换句话说，纳什均衡是指没有人会因为改变策略而从博弈中获益。

量子力学（研究物质最小组成部分的物理学分支）

旅行推销员问题也被搬上了银幕。2012年的电影《旅行推销员》聚焦于四位数学家，他们要决定该不该给美国军方提供P＝NP问题（参见第75章）的解决方法，因为他们知道，这关乎他们的道义责任，一旦军方掌握了这种方法，就能破解世界上的任何密码，为他们提供前所未有的力量。

事实上，两个人分蛋糕，理想的分法必须满足三个条件：1．任何一方都不想要对方的蛋糕，这种方法被称为无妒忌。2．不可能再让任何一方更满意，否则就要让其中一方不满意，这是效率。3．分配是公平的，也就是说，对于任何一方来说，他们得到的蛋糕具有相同的价值（举例来说，假如是三个人分蛋糕，而且每个人都喜欢糖霜上的花朵图案，那么，公平的分法就是每个人得到的那一块都有一个花朵图案）。

当你面临两个选择———左手边的队列还是右手边的队列，有的人相信，左手边的队列移动得更快，因为近90%的人习惯用右手，所以会本能地选择右手边的队列。这种观点纯属无稽之谈，但如果下次在主题公园里排起了长队，不妨试试左手边的队列。

恰好有一个数学分支是研究这个问题的，那就是排队论，它是专门研究排队行为的（研究排队论的数学家被称为排队论研究者）

同样，由于一个人的正面面积总是相同的，雨滴下降的速度也是恒定的，所以，不论一个人在雨中是走还是跑，打在他身上的雨水体积都是一样的。

由于你与避雨处的距离不会改变，唯一能尽量少被淋湿的方法是，尽可能减少在雨中的时间，而唯一的方法就是，跑得越快越好。

在其他变量相同的情况下，在雨中奔跑只能让你少淋湿10%。所以，在1987年发表于《欧洲物理杂志》的一篇论文中，他总结道：最好还是走，因为两者的差异并不明显，不值得浪费体力。

公交车成群出现体现了混沌理论———研究最初的微小差异如何导致最终的显著差异的数学分支。

你在物理课上可能学过，缆索可以将道路和车辆产生的下向压力转移到索塔上，然后再引向地面

不可能完全将球形转换成二维图形。所以，地球或者其他球体的所有地图在一定程度上都会失真。

一刀是什么意思

对于普通人来说，一刀可能是个陌生的概念。一刀纸是指24或25张大小完全一样的纸，相当于一令纸（400或500张纸）的1／20。

为什么不管我们千防万防，生活中还是有这么多东西会自己缠成结呢？

从某种意义上说，折纸和数学似乎有着相同的概念元素，用自己的双手来做出一个形状，从而更好地掌握数学概念，这样的效果是最好的。丢掉铅笔和绘图计算器吧，花点时间在折纸中发现数学！

在拓扑学中，新形状必须能通过一个连续的动作恢复到初始形状。只要可以，按照拓扑学的术语来说，这两个形状就是等量的。

,