初中数学解不等式组问题（初中数学专题不等式）

含字母系数的一元一次不等式（组）整数解问题是不等式（组）教学中的难点，许多学生在学习中觉得太难了，在解题中更是茫然无绪，不少老师在教学中也是不得要领，不知从何突破？本文介绍一种解法供大家参考．

首先，我们来重新认识一下方程的解与非解的含义：

如果x=m是关于x的方程f(x)=0的解，x=n不是方程f(x)=0的解，则f(m)=0，f(n)≠0.

与方程的解和非解的含义一样，我们可以得到不等式的解与非解的含义如下：

如果x=m是关于x的不等式f(x)>0(或<0)的解，则f(m)>0(或<0)；

如果x=n不是不等式f(x)>0(或<0)的解，则f(n)≯0(或≮0)，即f(n)≤0(或≥0).

例如，已知x=2是关于x的不等式ax 3<x 3a的解，求a的取值范围．

解：根据不等式解的含义，把x=2代入不等式，得

2a 3<2 3a，解得a>1.

又如，已知x=2不是关于x的不等式ax 3<x 3a的解，求a的取值范围．

解：根据不等式非解的含义，把x=2代入不等式，得

2a 3≥2 3a，解得a≤1.

显然，不等式的解与非解的含义是不难理解的，但重要的是运用这两个含义解决不等式（组）整数解难题就再也不难了．

（一）不等式最小整数解问题

例1 已知关于x的不等式3(x-k)>x(1-k)的最小整数解为x=1，求k的取值范围．

解析：因为不等式最小整数解为x=1，所以x=1是不等式的解，而比1的小的所有整数都不是不等式的解，而要保证比1的小的整数都不是该不等式的解，只需要x=0不是该不等式的解就可以了．

分别根据不等式解与非解得含义，得

3(1-k)>1·(1-k)且3(0-k)≤0·(1-k)，

即3-3k>1-k且-3k≤0，

分别解之，得k<1且k≥0，

所以k的取值范围是0≤k<1.

例2 求证：关于x的不等式k(2x-1)<x(k-3) 1的最小整数解不可能是x=0.

解析：假设原不等式的最小整数解是x=0，则x=-1不是该不等式的解，分别根据不等式解与非解得含义，得：

k(0-1)<0 1且k(-2-1)≥-(k-3)，

分别解之，得：k>-1且k≤-3/2，

所以-1<k≤-3/2；

把不等式化为(k 3)x<k 1，

因为不等式有最小整数解，所以k 3<0，k<-3,与x>-1矛盾，

所以不等式的最小整数解不可能是x=0.

评注：如果关于x的一元一次不等式ax>b（或ax<0）有最小整数解x=m，则a>0(或a<0)，且x=m-1不是该不等式的解．

（二）不等式最大整数解问题

例3 已知x=3是关于x的不等式3(x-k)-2(x-3) 6k<6的最大整数解，求k的取值范围

解析：根据题意，x=3是不等式的解，x=4不是该不等式的解．

把x=3代入不等式，得

3(3-k)-0 6k<6，解得k<-1；

把x=4代入不等式两边，得

3(4-k)-2(4-3) 6k≥6,解得k≥-4/3.

所以k的取值范围是-4/3≤k<-1.

例4 求证：关于x的不等式kx 1<2x-k的最大整数解不可能是x=1.

解析：假设不等式的最大整数解是x=1，则x=2不是该不等式的解．

把x=1代入不等式，得

k 1<2-k，解得k<1/2；

把x=2代入不等式两边，得

2k 1≥4-k，解得k≥1,与k<1/2矛盾．

所以已知的不等式的最大整数解不可能是x=1.

评注：如果关于x的一元一次不等式ax<b（或ax>0）有最大整数解x=m，则a>0(或a<0)，且x=m 1不是该不等式的解．

（三）不等式组没有整数解

例5 已知关于x的不等式组

没有整数解，求k的取值范围．

解析：不等式组的整数解取决于x>0和3x 1<2k的整数解，由于x>0有最小整数，3x 1<2k有最大整数解，当两个不等式中的最小整数解与最大整数解不兼容时，不等式组就没有整数解．

因为x=1是不等式x>0的最小整数解，故依题意，x=1不是不等式3x 1<2k的解．根据不等式非解的意义，得：

3×1 1≥2k，解之，得k≤2，

所以k的取值范围是k≤2.

例6 如果关于x的不等式组

没有整数解，求k的取值范围．

解：因为x<1的最大整数解是x=0，依题意，x=0不是不等式2x-1<3k的解，根据不等式非解的意义，得：

2×2-1≥3k，解之，得k≤1，

所以k的取值范围是k≤1.

评注：如果不等式组中的一个不等式有最小整数解，另一个有最大整数解，当其中一个不等式的最小整数解（或最大整数解）不是另一个不等式的解时，该不等式组没有整数解．

（四）不等式组有整数解

例7 如果关于x的不等式组

没有整数解，求k的取值范围．

解析：不等式组的整数解取决于x>1和2x-1<3k的整数解，由于x>1有最小整数，2x-1<3k有最大整数解，当两个不等式中的最小整数解与最大整数解有交集时，不等式组就有整数解．

因为x=2是不等式x>1的最小整数解，故依题意，x=2是不等式2x-1<3k的解，根据不等式解的意义，得：

2×1-1<3k，解之，得k>1/3，

所以k的取值范围是k>1/3.

例8 如果关于x的不等式组

有整数解，求k的取值范围．

解析：由不等式组可知不等式4x>3k-9有最小整数解，x<-2有最大整数解，且最大整数解为x=-3，依题意，x=-3是不等式4x>3k-9的解，根据不等式解得意义，得：

-12>3k-9，k<-1.

所以k的取值范围是k<-1.

评注：如果不等式组中的一个不等式有最小整数解，另一个有最大整数解，当其中一个不等式的最小整数解（或最大整数解）也是另一个不等式的解时，该不等式组就有整数解．

（五）不等式组有若干个整数解

例9 如果关于x的不等式组

恰有三个整数解，求k的取值范围．

解析：由不等式x>1的最小整数解为x=2，依题意，不等式组有三个整数解，这三个整数解只能是x=2，3，4．

因为不等式(x-5)/3 (2x-k)/2<0有最大整数解，为了使不等式组恰有三个整数解，其最大整数解只能是x=4，而为了使它的最大整数解为x=4，只需要使x=5不是它的解即可．

分别由x=4是不等式(x-5)/3 (2x-k)/2<0的解和x=5不是它的解，得：

解之，得22/3<k≤10．

所以k的取值范围是22/3<k≤10.

例10 如果关于x的不等式组

恰有四个整数解，求k的取值范围．

解析：由不等式x/2-1<0，解得x<2，其最大整数解为1，所以不等式组的四个整数解只能是x=1，0，-1，-2，

因为不等式2（x-k） 1>k有最小整数解，为了使不等式组恰有四个整数解，其最小整数解只能是x=-2，而为了使它的最小整数解为x=-2，只需要使x=-3不是它的解即可．

分别由x=-22（x-k） 1>k的解和x=-3不是它的解，得：

解之，得-5/3≤k<-1．

所以k的取值范围是-5/3≤k<-1．

评注：不等式组有若干个整数解问题，先由其中的一个不等式确定其最小整数解（或最大整数解），再由整数解的个数确定另一个不等式的最大整数解（或最小整数解），然后由不等式最大整数解（或最小整数解）确定字母系数的取值范围．

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