泰勒公式和导数的区别（泰勒公式和导数放缩形式）

本期内容是回应学生在后台提出的导数放缩法，关于导数放缩的常规放缩技巧和放缩法应用的题型在之前的推送中多次给出过，其实除了零点问题中用放缩取点法和用放缩法证明不等式成立之外的其他题型不建议使用放缩法，一方面是放缩的形式变化繁多，放缩的度很难把握，很容易造成放缩失当；二是取消文理分科使用新高考后的数学难度本身降低了很多，用常规方法就能解出来的题目也没必要深究放缩法，否则很容易造成思维定势舍近求远的做法。

在导数中高中阶段的放缩最常用的可以称之为切线放缩，例如常见的e^x≥x 1，lnx≤x-1，选择不同的切点也会有不同的切线放缩形式，对其中的x进行变形会到的其他的一些放缩形式，例如：

也可对上述不等式左右平移得到其他的放缩形式，因为对x的赋值不同，得到的放缩形式不同，在实际应用中要根据题目的形式，分析所需的放缩技巧，不可生搬硬套，典型的案例如下：

上述题目也可有其他的放缩形式，但上述放缩是最简单的一种，但在实际大题中必须把所用到的放缩不等式证明出来方可使用。

除了上述切线放缩之外还可以根据变量的范围或参数的范围放缩，即把函数的部分放缩成具体的数字，这在三角函数与导数结合的题目中很常用，例如|sinx|≤1

高中阶段掌握上述基础性的放缩方法即可，如果要深究就不得不提一下高等数学中的泰勒公式，下文中将泰勒公式作一些基础简要的说明，先给出公式：

上述泰勒公式其实是一种函数模拟的过程，若函数连续且可导，则在以x0为邻域的区间，可用x0处的n 1阶导数来模拟原函数，以e^x为例，选取x=0时的泰勒展开式，作图如下：

可知展开式的阶数越高，函数在以x=0为邻域的区间内模拟程度越好，此时放缩越精确，一阶展开式就是在x=0处的切线，这也是高中阶段用到最多的放缩形式。

既然切线放缩就满足高中导数的放缩需求了，为什么还要了解泰勒公式，以下面一道陈年高考真题为例：

以上做法是通过极限确定函数在区间内的极限值，通过极限值猜测最值，再证明不等式即可，这种做法有很大的局限性，对学生极限的求法要求较高，而且函数并非一定在定义域端点处取得最值，这种方法仅能作为参考或者题目的估算方法，但也给我们提供了一种解题的思路:通过极限值估算最值，题目如果直接使用泰勒公式，因为题目中最高次为三次，若选用余弦函数的二阶泰勒不等式，过程如下:

这种参数在函数系数上的题目如果合理使用泰勒公式往往会得到意想不到的效果，再给出一个题目：

高中阶段一般只需泰勒公式的三阶展开式即可，泰勒公式在高中阶段的目的并不是为了秒解什么题目，只是作为传统切线放缩的补充形式，传统的切线放缩有时候会有较大的误差，另外泰勒公式也可用来求函数的极限，通过极限来确定函数在间断点处和无穷处的函数值也是高中导数需要掌握的必备知识。