同位角相等需要证明吗（作业中对同位角的理解错误剖析）

作业中对同位角的理解错误剖析

人教版七年级下册《相交线与平行线》中，对三线八角的理解是基础，然后再学习平行线，通常情况下，教材中对三线八角的识别难度并不高，因此，学生在面对后续章节中较复杂的图形时，如果在前面对同位角理解不够透彻，那么，便会导致一系列识图问题。本文选择了一次作业中的一道证明题，通过面批作业过程中，学生的反应，剖析错误生成的原因，以便于在后面的教学中强化学生识图能力，同时也有针对性对学生的学习习惯提出改进要求。

题目：

已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点M，N，∠1=∠2，求证：MP∥NQ

学生的错解倒也干脆，非常简单，如下：

∵∠1=∠2（已知）

∴MP∥NQ（同位角相等，两直线平行）

看完后十分无语，于是问该生：∠1和∠2是同位角吗？

答：是的，它们位置相同。

分析错误原因，显然搞错了同位角的概念，在学习同位角时，再三强调前提是两条直线被第三条直线所截，看来学生并没有真正理解截线，三线八角中的三线没能在学生脑子中留下印象。曾经在前一篇文章中提到找同位角的关键，看来在这位学生身上没有起到效果。

猜测该学生在理解同位角的概念时，还真是顾名思义，同位角，位置相同的角，而且对位置相同极为重视，甚至忽视了前提条件。再看图中的∠1和∠2，它们又是由哪两条直线被哪根直线所截形成的呢？在抛出这个问题之后，学生终于意识到了错误所在。

当只看三根直线时，才有同位角的存在，但∠1和∠2的两边已经涉及到四条线了，因此它们根本不是同位角。

继续引导，既然∠1和∠2不是同位角，那么想证明MP∥NQ，到底该证什么角呢？图中有没有它们之间的同位角？

按三线八角的识别方法，首先确定MP和NQ这两条直线，然后找截线，很容易，只能是EF，用红色笔描出它们，学生便能找到了，如下图：

图中∠3和∠4才是MP与NQ被EF所截形成的同位角，由已知条件中AB∥CD，可得到∠BMN=∠DNF，从它们中分别减掉∠1和∠2，则剩下的∠3=∠4，于是便可证明MP∥NQ，然后学生书写改错，但我还是高兴得太早了，她的书写过程如下：

∵AB∥CD（已知）

∴∠BMN=∠NDF（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠BMN-∠1=∠NDF-∠2（等式性质）

∴∠3=∠4（同位角相等）

∴MP∥NQ（两直线平行）

我十分诧异地问她，∠3=∠4后面的理由为什么只写同位角相等？这不是一整句话吗？她回答，是啊，还有半句在下面写了。

顿时我意识到，该生的问题绝不仅仅是识图，而是对判定定理的理解上。在写下同位角相等的同时，我相信那一刻，她脑子里想到的是“∠3和∠4是同位角，所以它们相等”，而在写下一步理由的时候，脑子里想到的是“同位角上面已经写了相等了，所以理由就是两直线平行”，完全是一团浆糊。

几何证明过程中，每一步后面书写的理由，是指∠3=∠4的理由，即为什么∠3=∠4，如果回答因为它们是同位角，所以相等，那么就相当于把定理前半句作为一个判断而不是一句条件，这就是理解错误。

耐心解释，∠3=∠4成立，是因为上一步，利用等式性质，相减后两边剩下的结果，它们的位置关系是同位角，而不是因为位置恰好是同位角而导致的相等，即先知道它们相等，然后找出位置关系是同位角，前后逻辑不一样。

而在最后一步，平行的理由才是因为同位角相等，所以最后那句话应该写成“同位角相等，两直线平行”。

教学反思：

类似该学生的错误并非偶然，事实上，每一届学生中，都有不少这种错误，即使在课堂教学中想尽办法避免，依旧会犯。那么，问题的产生已经不仅仅是教师讲授，而是学生听讲的习惯。我注意到，课堂上那些中等生最容易犯这样的错误，而在课堂上，过于简单的问答让他们感觉自己已经懂了，因此不再深入思考问题，这和学霸们勤于思考正好形成对比。

所以，在课堂上，除了把问题讲清楚，更重要的是课堂练习的落实，即关注到每个学生，通过课堂上识图练习，每个学生是否真理解，需要巡视到每个学生面前。根据前面描述的重点易错人群，那么中等生无疑是课堂巡视的重点，只有在课堂上把错误消灭掉，才不会导致解题中出现的问题。