三角形三条边的长度之和（三角形中在约束条件下两边之和与第三边长度的关系）

三角形的一个不等式

如图三角形的三个边为a, b, c, D是BC上的任意一点，且有AD2=BD.DC

证明不等式，√2a≧b c

这道题在前面的文章中证明了D是中点的情况下成立，参见在三角形中有一个约束的不等式，下面不失一般性，证明D是任一点的情况。

证明：令BD=x, CD=y, AD=r, 则根据已知有r2=xy

根据余弦定理：

根据要证明的不等式形式，想到要用下列代数式的变换：

读者自己按照余弦定理，将b和c用x,y,r 等参数表达式子带入，上面的两个式子是有公因式的， 设：

所以：

因此：

这里为下面的等式成立，做个预先推导：

由此有下列的变换：

所以：

后记：当等号成立时候，有上面的证明过程可知，U=0， 可知cosθ=(x-y)/2r=0的时候，此时x=y, θ=90°,这时候该三角形是个等腰直角三角形，因为r=x=y。这道题在前面的一篇文中谈到了D是中点的情况，恰恰是这种特例。