黑洞蒸发后的物质和能量去了哪里 黑洞完全蒸发的时间与黑洞爆炸的能量

在上次的文章《用高中生能懂的数学知识推导黑洞的霍金温度公式》中，我们用量纲分析得到了黑洞的霍金温度公式：

假设我们用三个太阳质量的黑洞代入上述方程，得到的温度大约为2×10^-8开尔文。我们知道宇宙微波背景辐射的平均温度大约为2.7开尔文，因此这种质量的黑洞实际上吸收的能量比辐射的还要多。也就是说，在宇宙膨胀到微波背景辐射的温度下降到足够低之前，黑洞都不会因为霍金辐射而失去质量。

所以，让我们先假设宇宙已经膨胀得足够多，黑洞已经可以通过霍金辐射失去质量了。那么黑洞所有能量辐射出去需要多长时间？要回答这个问题，我们需要确定黑洞霍金辐射的输出功率。现在，我们的任务是使用量纲分析来估计一个具有温度T的物体每单位面积的辐射功率。

因为我们正在处理辐射，所以我们应该期望我们的方程包括光速c；并且由于我们在处理热量，所以也应该包含玻尔兹曼常数kB和温度T；最后，我们还将包含约化普朗克常数ℏ。还是常规的操作，我们先进行猜测方程：

通过量纲分析，我们可以得到α=-3，β=-2，γ=δ=4，不清楚如何分析的可以看上一篇文章。于是，我们可以得到单位面积的辐射功率公式为：

事实上，详细的量子力学计算得出精确的斯蒂藩-玻尔兹曼方程为：

我们有黑洞面积A的公式和黑洞温度T的公式：

代入斯蒂藩-玻尔兹曼方程得到：

代入基本常数可以计算出3个太阳质量的黑洞的辐射功率大约为10^-29瓦，而相比之下太阳的辐射功率为10^26瓦，所以黑洞的辐射功率可以说是相当小了。那么，要多久才能把这个黑洞的质量辐射完？

我们首先要注意到，黑洞的辐射功率会随着质量改变，而辐射又会改变质量，所以我们需要以微分形式来表示功率的关系：

然后，我们将使用爱因斯坦的质能方程重写上述方程：

接下来使用分离变量法，再对他们进行积分。黑洞质量从M到0，而时间从0到t。

现在，我们继续考虑3个太阳质量的黑洞，通过计算上述公式，我们可以得到它完全蒸发需要的时间t大约为10^76秒，也就是10^68年。而目前宇宙的年龄为137亿年而已，它完全蒸发时间比宇宙年龄大得多。就算是只有一个太阳质量的黑洞，它完全蒸发的时间也比宇宙年龄长。如果我们把宇宙年龄137亿年（大约为10^17秒）代入上述公式，可以得到能完全蒸发的黑洞的质量为10^11千克，这大致和小行星的质量相当。

霍金说，在黑洞生命的最后一秒，它会爆炸开来。我们让黑洞的生命t=1，然后可以算出黑洞的质量大约为10^5千克。根据E=mc^2，此时释放的能量大约为10^22焦耳，而地球上曾经引爆的最大核弹所释放的能量才10^17焦耳。