高中数学二次函数中考压轴题 二次函数综合压轴

题目：2019年湖北省襄阳市中考数学第25题

（13分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x/2 3与x轴，y轴分别交于点B，点C，

对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．

（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）直线与抛物线都过BC，直线方程已知，求出C（0,3），B（6,0）根据对称轴，求出A（-4,0）。

设抛物线为

这里注意直角△ACO，直角△BCO边长比都比较有特点，一般地，在直角坐标系中，我们要观察线段长的关系。

（2）本题可以用两种方法来解，其一，根据题意作图如下：

求PE最大时，P的坐标。过P作垂线，当PE最大时，PD最大。

Rt△PED∽Rt△BFD∽Rt△BOC，直角边之比是2:1

当x=3时，PD取得最大值。观察x=3在题目要求的取值范围内（0＜x＜6）

P（3,21/8）

方法二：过点P作BC的平行线，当与抛物线相切时，△=0.

设直线为：y=﹣x/2 b

与抛物线联立，求出b=33/8

将直线为：y=﹣x/2 33/8与抛物线联立，求出交点横坐标x=3

同样可以求出P（3,21/8）

（3）相似三角形，对应边成比例，△ABC中，边长从短到长依次是AC=5，BC=3根号5，AB=10.注意坐标系中两个锐角拼成的直角三角形有点特殊，我们前文提到过。

那么这里有个问题，C的对称点，构成的新的全等算不算特殊相似？

算的。

所以第一个点比较简单Q1（2,3）

下面分类讨论，在△ABC中AB最长，在新△中，AB要么最短，要么处于中间地位，不可能再是最长的了。

①作图，假设AB是次长

根据相似算出Q坐标（-22/3，-20/3）后，代入抛物线解析式验证，发现不在抛物线上。

②作图，假设AB最短

综上，Q的取值有三个（2,3），（-10,-12）（12,-12）