物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)

第一部分:动能、动量守恒

如图所示(图1),

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(1)

图一

在一个水平光滑的平面上,有两个质量分别为m₁,m₂的物体分别以v₁,v₂的速度进行运动(m₁m₂为定值),则可知两物体的总动能为EK=½m₁·v₁² ½m₂·v₂²,总动量为p= m₁·v₁ m₂·v₂,如果这两个方程放入平面直角坐标系,那么我们能得到一个椭圆和一条直线,为了能够引入π这个值,我们令x=√(m₁) v₁,y=√(m₂) v₂,则我们可以得到方程组(图二)

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(2)

图二

放入平面直角坐标系中可以得到(图三)。

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(3)

图三

动量方程式的斜率k=-√(m₁/m₂)。易知,由于动量动能要同时满足“守恒”条件,所以物体运动状态只可能是图中的点A或点B,当物体以A点的运动状态运动并且发生碰撞时,运动状态会改为B点,反之会从B点变为A点。

第二部分:物块撞击分析

如图所示(图四),

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(4)

图四

质量为m₁的物体以v₁的速度撞击静止且质量为m₂的物体(m₁>m₂),将质量为m₁的物体称为A,质量为m₂的物体称为B,两个物体会继续运动,直至两物体全部往右边运动且A此时的速度大于B此时的速度,计算两个物块相互的撞击次数与B撞墙的次数。首先一开始,B的速度为0,所以此时的y=0,则运动状态为如图所示(图五)的A点,

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(5)

图五

两个物体第一次撞击后运动状态改为B点。接着B将会和墙相撞,此时由于速度是矢量且物体B被反弹,速度大小不变方向相反,所以v₂取相反数,v₁不变,所以运动状态改与与B关于x轴对称的C点(图六)。

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(6)

图六

接着A再次与B相撞时,由于斜率没变,所以会碰撞至D点。同理再次作对称点,这样操作几轮后,如图(图七),

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(7)

图七

当直线与圆只有一个交点的时候,碰撞结束。

第三部分:求出物块撞击次数

如图所示(图八),

物理求长度怎么求(用物理数学的方法求π的值)(8)

图八

过A点作圆的切线,令∠EAB=β,由斜率定义可知tan(π/2-β)=cotβ=k,由弦切角定理可知弦AB所对的角等于2β,又由弧度制定义,可得弧AB=2βr。同理,弧AC=弧BD=2βr,而最后一段弧由于弦切角≤β(若大于,则应当还可以相撞),则最后一段弧<2βr。令碰撞次数=L,则有2β·Lr<2πr,2β·(L 1)r≥2πr(若不清楚等号位置可以取k=1并作图后容易得出)。整理后可得π/β-1≤L<π/β。验证:当m₁/m₂=1时,cotβ=1,β=45°,此时3≤L<4,L=3。同理m₁/m₂=100时,cotβ=100,L=31,m₁/m₂=10000时,L=314,m₁/m₂=1000000,L=3141。

第四部分:撞击次数L与π的值的关系

当β→0时,有cotβ≈1/β=k=-√(m₁/m₂)(余切函数图像),故由π/β-1≤L<π/β可推得π×√(m₁/m₂)-1≤L<π×√(m₁/m₂),此时若√(m₁/m₂)为10的倍数,则L就为π×这个是10的倍数的整数部分。

(秋天的金枪鱼- Day21 来自“秋天的金枪鱼”的“fish like forest”)

如果对我们有什么建议, 请留言; 也可以投稿, 或是让我们解决(能力所及)的题目! 谢谢支持!

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页