自然常数e如何算（自然常数34）

自然常数、纳皮尔数、欧拉数，这些词汇都是对表示常数的同一符号“e”的称谓，现今，术语中更习惯于称之为“自然常数”。它和π一样，是数学中最重要的常数之一，但若按对其研究或发现的时间早晚来说，它的知名度可能不及π，不过，其一经“出世”，名气也绝不亚于π。

据说，是瑞士数学家雅各布·伯努利（伯努利一家子很厉害，都是数学家，研究成果还都颇丰）在研究复利——说白了就是利滚利的计算的时候，发现了“e”的身影，但可惜的是，他知道“e”的值应在2和3之间，却没有确切地计算出来。具体是怎么样的复利，让“e”现身了呢，可以用下图例子来诠释（假设本金为1，年利率为100%），

图1

如上图所见，这里所谓的“复利”，即是一年结一次息、半年结一次息、一季度结一次息亦或一月结一次息……，这样计息的结果，让我们看到了眼熟的表达式：

图2

随着n的不断增大，通过计算上式的值，它越来越趋近于某一值，也就是前述雅各布给出的结论——在2和3之间，即相当于求上式的极限：

图3

谁是第一个发现的这个极限值，这个无从考证了，不过，最早的线索是苏格兰数学家约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作《奇妙的对数表的描述》附录中的一张表中出现了自然常数e的身影，他得到了近似等于1/e的计算结果，这是巧合还是有意为之，现在已不得而知。

第一个让“e”现形的人，即数学界公认的所有人的老师“欧神”欧拉，欧拉在试图解决雅各布提出的问题时，给出了e的具体结果，并证明了e是无理数。欧拉将图3中的1/n用x/n代替，从而得到

图4

并推导出了图4的级数展开式：

图5

欧拉借此计算出了e的小数点后18位，并通过e的连分式形式证明了e是一个无理数，e的连分式型如下式：

图6

欧拉根据图5乘胜追击，他把x换成ix（没错，i就是那个虚数单位），得到：

图7

其中实部即cosx的级数展开式，虚部即sinx的级数展开式，由此即可得

图8

图8所示的等式用一种简约而不简单的方式，将三角学、代数学以及分析学三个数学分支紧密地联系了起来，欧拉进一步地令x=π，从而得到宇宙间最闪耀夺目的最美公式，也即宇宙第一公式——

图9

一个表达式将数学中最基本的五个常数——e、i、π、1、0联系到了一起，恐没有比这更神奇的事情了。

e的无理性被证明后，它是超越数（不是任何一个整系数多项式的解）的证明要迟至一百多年后于1873年由法国数学家埃尔米特给出，证明长达30多页，可见证明一个数是否为超越数，其难度之大。

人们通过观察自然事物——比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……获知涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，其在极坐标下的曲线函数即

图10（r为极径、θ为极角，a和b均为常数）

人们在研究一些实际问题时——如生物的生长、繁殖和衰变规律等，不少都与e有关。这或许就是“自然常数”这个名称的由来。