如何简单理解傅里叶变换（真正的通俗易懂）

如果我说我能用正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。傅里叶认为“任何”周期信号都可以表示为一系列成“谐波关系”的正弦信号的叠加。看看下图：

方波也称为矩形波，但是这种“方方正正”的信号的确可以分解为无限多个正弦信号的组合。下图展示了方波的傅里叶级数的前50项的叠加过程，如果项数继续增加，则最终趋近方波。

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。

虽然组成方波的这些信号都是正弦信号，但是这些正弦信号之间还需要满足一定的条件。考虑组成方波的正弦信号，方波可由以下公式表示，其中n为奇数：

这里，ω称为基波频率，而3ω、5ω、nω等均为ω的整数倍。这些大于基波频率，且是基波频率整数倍的各次分量称为谐波。对于方波，基波的各偶数次谐波的幅值为零。这些谐波成分也就是组成方波的原材料。（来源：简书）

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。

对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。

是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。

比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。

而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。

欧拉公式

当x等于 Pi 的时候。

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。