刘徽对于数学方面的研究（刘徽的数学成就）

图1 刘徽

刘徽(图1)是中国古代最卓越的数学家之一，在世界数学史上，占有杰出的地位，正如我国学者李迪先生所说：“在刘徽的时代，很难在世界范围内找到一个能够和刘徽相比的数学家。”他不仅是中国传统数学知识和成果的继承者和创造者，同时也是中国传统数学理论的奠基者。他一方面搜集前人和同代人研究《九章算术》的成果，采其所长；一方面深入研究，“探赜之暇，遂悟其意”，写下了自己伟大的数学发现与创造，他的杰作《九章算术注》与《海岛算经》成为我国乃至世界的宝贵数学遗产，它标志着中国传统数学完成了由感性向理性、由或然性向必然性的升华。刘徽在数学上的建树颇丰，几乎涉及中国古代数学的各个方面。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数。

在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法；在中国第一次提出不定方程问题；建立了等差级数前n项和的公式；在几何方面，提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆，其要旨是用来证明圆面积公式(c周长，r半径)。“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，其极限过程是为证明圆面积公式服务的。而求出圆周率π=3.14是它的副产物和必要补充。指出了《九章算术》中球体积公式的错误，并为推导准确的球体积公式，天才地设计了具有历史价值的“牟合方盖”(直径相同的两个正交圆柱的公共部分)，为日后祖暅球体积公式的推导奠定了基础等。刘徽可以说是中国古代系统研究数学思想方法的第一人，以下将简要介绍他在这方面所取得的成果。

刘徽《九章算术注原序》中说:“事类相推，各有攸归。故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”认为数学对象总可以归并为若干类型，掌握了某些基本的关系与方法后，就可引而伸之，触类旁通。因此，各种数学方法和理论，虽然形式多样，但它们之间是有联系的，犹如一株枝繁叶茂的大树，尽管分成不同的枝条，却有着同一的主干，发生于同一个根源。这种将问题归结为基本的数量关系或图形结构的思想和方法，在刘徽的注文中是非常普遍的。

如《九章算术》粟米、衰分和均输三章都是关于比例和比例分配的问题，内容交错、重复。刘徽用“率”统一了这三章的方法，不仅把比例、比例分配归结为“今有术”，而且将分数、追及、行程、程功、利息、均输等一般算术问题都化为今有术问题，指出:今有术，“此都术也。”刘徽又推而广之，将“率”应用于面积、体积、解勾股形、盈不足、方程等问题，使“率”成为计算问题的纲纪，强调说:“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”即将“率”作为计算问题的基础。

化归思想体现最为突出的是在所谓的“棋验法”中。关于方亭(平截头方锥)、方锥、刍甍(上底为一线段，下底为矩形的拟柱体)与刍童的体积公式，刘徽是通过将它们分解为立方、堑堵(底面为直角三角形的直三棱台)、阳马三种标准“棋”来推证的，他称这三种“棋”为“三品棋”，如图2所示。并指出:“此章有堑堵、阳马，皆合而成立方。盖说算者乃立棋三品，以效高深之积。”

图2 三品棋

刘徽说:“又所析理以辞，解体以图，庶亦约而能周，通而不黩，贤之者思之过半矣。”他将逻辑推理与图形分析有机地结合起来，使得他的证明简洁明了。尤其是他对图形的分、合、移、补即所谓的“以盈补虚”，其技法可以说达到了炉火纯青的地步。他用“出入相补原理”不但给出了三角形、梯形等面积公式的证明，而且还巧妙地对勾股定理、勾股容方公式以及勾股容圆公式进行了证明。

刘徽在《九章算术》的“勾股术”注中说:“勾自乘为朱方，股自乘为青方，今出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”这就是刘徽给出的勾股定理的“以盈补虚”的图形证明。据说刘徽当时绘有图形，但所绘之图早已散失。图3的两种方法，分别将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ移到Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′，是比较常见的两种推测。刘徽还将出入相补原理应用在多面体体积公式的推导之中，得出了所谓的“刘徽体积原理”。在《九章算术》“商功”章的“阳马术”的注中说:“邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑(各面均为直角三角形的四面体)，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。”其中的 “”被称为“刘徽体积原理”，它是刘徽推导《九章算术》中，各种直线型立体体积公式的基础。

图3 勾股定理的证明

刘徽是我国最早运用极限思想进行数学研究的数学家。与现代的“极限”知识相比，刘徽的极限概念具有直观性强的特点(有很丰富的几何背景)，在方法上具有很强的可操作性；而且，在实际的应用上，刘徽可以说是运用自如，游刃有余。

他给出了用内接多边形面积无限逼近弓形面积的具体计算方法；采用无限分割的方法证明了前面所叙述的“刘徽体积原理”；历史性地给出用十进制小数来表示“开不尽方”者（无理数）的操作方法，其中蕴涵着用无限小数逼近无理数的现代数学思想；而极限思想运用最为成功的，在数学史上具有光辉地位的是，他应用自己所创造的以极限思想为基础的“割圆术”，证明了《九章算术》中的圆面积公式，建立了推算圆周率的科学方法。刘徽是在《九章算术》方田章“圆田术”注中提出“割圆术”的，其要旨是证明圆面积公式等。在刘徽的注文中包含具有以下形式的关系式：

其中，r，c，分别是圆的半径、周长和面积；分别是圆内接正多边形的周长和面积。

刘徽取圆的半径(也是内接正六边形的边长)r为1尺，一直计算到圆内接192边形，得出了圆周率的近似值π=3.14，化成分数为，这便是有名的“徽率”，刘徽进一步指出:“此率尚微少”，据说他继续求得内接正3072边形的面积，从而推得圆周率为：

刘徽在推证圆柱、圆锥、圆台等体积公式时，应用了如下方法：首先分别作其外切正四棱柱、锥、台，然后作与底面平行的截面，则分别截得一圆及其外切正方形。刘徽指出，它们的面积之比恒等于π：4，并且相应的两个立体体积之比也应为π：4。他由此很方便地推证了圆柱、圆锥、圆台的体积公式。其中的关系式:

被称为“截面原理”。这实际上是“祖暅原理”或“卡瓦列里原理”的特殊情形。刘徽在为《九章算术》“少广”章“立圆术”做注时指出，书中的球体积公式：（D是球的直径）不正确的，他很想用“截面原理”来推导球体积的准确公式。由此，他设计了精美奇妙的“牟合方盖”——两个直径相等的成正交的圆柱的公共部分，形似上下相合的两把伞；刘徽另外又用全等的皆似阳马的“八棋”构造成“牟合方盖”。如图4、图5、图6所示。

图4 两正交圆柱公共部分

图5 牟合方盖

图6 立方体、球、牟合方盖的八分之一

显然，“牟合方盖”恰好可以外切一球，水平截面为正方形，由 “截面原理”则可得出如下关系：

这样只要求得“牟合方盖”的体积，即可获得球的体积。可惜他对这个“判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正”的图形的求积问题未能予以解决，只能“敢不厥疑，以俟能言者”! 然而，正是在这个基础上，200多年后的祖冲之父子才最终获得了球体积的精确公式。

本文摘编自《数学简史》（张红 主编）第三章第二节第四小节，标题和内容有调整。科学创造未来，人文温暖世界。在科技引领发展的时代，与您共同关注科技史、科技哲学、科技前沿与科学传播，关注人类社会的可持续发展。科学人文在线，创造有价值的阅读！欢迎关注、点赞、留言、转发、参与赠书活动，联系邮箱：kxrw@mail.sciencep.com。

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