数学高分秘籍之不等式（数学的乐趣一题多解）

数学的魅力，也是学数学的乐趣，一题多解，一道简单的题把几个知识点联系起来，好像条条大道通罗马的感觉，又把几个知识点都复习了。

顺带的，学个柯西不等式。

如题：

已知x﹢2y=1，求x²﹢y²的最小值。

很简单的高中数学题

先不看下面的解法，思考下，自己能不能解？

解法一：求二次函数的最值，初中数学。

依题，x=1﹣2y，代入，

x²﹢y²=(1﹣2y)²﹢y²=5y²﹣4y﹢1=5(y-2/5)²﹢1/5，

所以，当y=2/5，x=1/5时，

x²﹢y²有最小值1/5。

二次函数的最值

解法二，数形结合。

在平面坐标里，方程x﹢2y=1表示一条直线，

则P(x,y)为直线上的任意一点，原点O(0,0)，

P点与原点O之间的距离为d，

则d²=x²﹢y²，

OP垂直直线时，OP长度最小，

根据几何知识，容易求得最小距离，d=√5/5，

所以x²﹢y²最小值为1/5，此时x=1/5,y=2/5。

最小距离

数形结合

解法三，柯西不等式，

根据柯西不等式，

(1²﹢2²)(x²﹢y²)≥(1x﹢2y)²，

x﹢2y=1，

即，5(x²﹢y²)≥1，

x²﹢y²≥1/5，

当且仅当1y=2x时，等号成立，

即x=1/5，y=2/5时，

x²﹢y²取最小值1/5。

柯西不等式

(二维形式的柯西不等式)

若a，b，c，d都是实数，则

(a²﹢b²)(c²﹢d²)≥(ac﹢bd)²，

当且仅当ad=bc时，等号成立。

二维形式的柯西不等式

利用向量来证明柯西不等式，

柯西不等式的证明

把二维形式的柯西不等式推广，得一般形式的柯西不等式，

（一般形式的柯西不等式）

一般形式的柯西不等式

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