总结比较样本均值的抽样分布形式（统计起源第五讲）

黑暗天才费歇尔本科的时候就在《生物统计》上发表了一篇短文（应当就是戈赛特递给卡尔.皮尔逊的那篇），前面讲到，卡尔.皮尔逊的师父高尔顿提出了一个回归的概念，为了描述回归又搞出一个相关系数来。卡尔.皮尔逊就把这个相关系数的分布问题介绍给了黑暗天才费歇尔。这位老皮尔逊也许本来只是想用这个复杂的问题压一压天才的锐气，没想到我们的黑暗天才不到一周就搞定了。费歇尔在《生物统计》上投了稿，但是卡尔.皮尔逊却看不懂里面的数学，卡尔.皮尔逊叫来“学生”戈赛特，“学生”也是一脸懵逼。于是费歇尔的这篇文章就被扣下了，同时老皮尔逊的助手开始计算那张庞大的分布表。一年多以后，老皮尔逊发表了这个分布表，而费歇尔的工作只是作为脚注出现。这就好比你本来有一篇顶刊一作，最后被杂志社主编坑了，变成了不知道多少作了。从此费歇尔再也没有在《生物统计》上发表过文章，并且开始了与卡尔.皮尔逊的互黑之路，互相指责对方的工作有问题。我们可以想象当年一老一小对着统计问题开始互黑“我们这本来挺真实的统计学咋就被你搞成个玄学？”“自由度都搞不清楚就在那里画表？”

统计学总是有一堆表，图中所示是标准正态分布的表，以后我们会用到

两个人在统计方面处处存在分歧。其中很重要的一条就是卡尔.皮尔逊认为分布是真实的，而费歇尔认为总体的分布并不真实存在，只能用样本统计量来估计，并且每次估计都有误差（这跟“学生”戈赛特的想法类似，费歇尔把戈赛特的t体检的思想给一般化了）。老皮尔逊的想法就是收集足够多的数据就可以把分布图画出来，实际上现在我们来看老皮尔逊求出的分布就是样本分布，而费歇尔就说了，你样本量跟总体数量差那么多，你顶天了就是用样本分布来估计一下总体分布。这里费歇尔引出了总体分布与样本分布的不同，于是就有了第二讲中样本统计量对总体参数的估计。同时费歇尔还提出一个好的统计量要满足三个准则：一致性、无偏性、有效性。上一讲中计算样本方差时除以n-1的操作就是它变成了无偏的，而开根号以后变成了样本标准差就不再是无偏估计了。

总体与样本的关系，用样本统计量估计总体参数，这就是推论统计

“学生”戈赛特在《生物统计》期刊上发表的那篇题名《平均数的可能误差》（The Probable Error of the Mean）的文章，所提出的问题就是，样本的平均数跟总体的平均数究竟有多大的误差呢？为了探究这个问题，我们必须引入第三种分布，样本均值分布。样本均值分布既不是样本的分布也不是总体的分布，而是假设你不停的抽样本，每组样本的均值的分布。好，让我们说人话，为了简化问题，假设我们抓了4个外星人，然后我们教他们学英语，再带他们去考雅思，然后他们分别考了2,4,6,8分。这个时候4个外星人的雅思成绩就是要研究的总体（在特定的情况下总体包含的数量可能会很小，但是为了模拟真实的情况，我们还是抽取样本来研究），我们从这4个数组成的总体里有放回的抽取一个样本量n=2的样本，第一次，抽到了2和4，计算样本平均数为3；第二次，抽到了4和4（因为有放回，可能抽到同一个数），计算样本平均数是4,；第三次，抽到了2和6，计算样本平均数还是4；就这样一直抽，抽了16次以后，我们把这16组样本的均值画在图上，就得到了样本均值频数分布图。

左图是一个只有4个数的总体，右图是样本均值的频数分布图

在现实生活中，总体一般不会只有4个数，比如所有运动员的身高，所有减肥者的体脂率，所有科学家的发量……而且当我们抽取很多很多次以后，我们就能观察到样本均值分布变成正态分布了！这就是中心极限定理。

随着格子越来越多，就能逐渐看出，样本均值分布是满足正态分布的

样本均值服从的分布就叫样本均值分布，一般来说，这个分布是服从正态分布的。样本均值分布的均值等于总体的均值，样本均值分布的标准差被称为标准误，标准误等于总体的标准差除以根号n（n是样本量，这个例子里n=2）。因此，虽然样本均值分布是假想中不断抽取样本并求出一大堆均值得到的，但是实际上样本均值分布的形状只与总体有关。看着样本均值分布的图形，你就知道样本的均值跟总体的均值之间的误差有多少了，这个误差不是一个固定的数，而是一个概率分布，它的特点是，如果你只抽取一组样本，它的均值很可能跟总体均值很接近，但是也有很小的概率离总体均值很远。这就是戈赛特所提出的问题的答案。

在分布中面积的比就是概率，样本均值M在总体均值μ附近的概率最大，距离越远则概率越小

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