椭圆与直线的位置关系知识总结（直线与椭圆的位置关系）

【考点聚焦突破】

考点一　中点弦及弦长问题

角度1　中点弦问题

【规律方法】　弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；

(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.

角度2　弦长问题

【规律方法】　1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

2.设直线与椭圆的交点坐标为

考点二　最值与范围问题

【规律方法】　最值与范围问题的解题思路

1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.

2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.

【易错警示】　(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.

(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

【反思与感悟】

解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.

【易错防范】

1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.

2.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.

【核心素养提升】

【数学运算】——高考【解析】几何问题中的“设而不求”

1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.

2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.

类型1　巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求

类型2　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法

类型3　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0

类型4　求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求

,