椭圆与直线的位置关系知识总结(直线与椭圆的位置关系)

【考点聚焦突破】

考点一 中点弦及弦长问题

角度1 中点弦问题

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【规律方法】 弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系:直线与椭圆方程联立、消元,利用根与系数关系表示中点;

(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点、斜率.

角度2 弦长问题

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【规律方法】 1.解决直线与椭圆相交的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.

2.设直线与椭圆的交点坐标为

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考点二 最值与范围问题

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【规律方法】 最值与范围问题的解题思路

1.构造关于所求量的函数,通过求函数的值域来获得问题的解.

2.构造关于所求量的不等式,通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中,一定要深刻挖掘题目中的隐含条件,如判别式大于零等.

【易错警示】 (1)设直线方程时,应注意讨论斜率不存在的情况.

(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.

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【反思与感悟】

解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想,通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.

【易错防范】

1.涉及直线的斜率时,要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.

2.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.

【核心素养提升】

【数学运算】——高考【解析】几何问题中的“设而不求”

1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程,解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.

2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简.解题过程中,巧妙设点,避免解方程组,常见类型有:(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题;(2)根据题意,整体消参或整体代入等.

类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系,从而设而不求

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类型2 中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法

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类型3 中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证Δ>0

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类型4 求解直线与圆锥曲线的相关问题时,若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系,可用“替代法”,“替代法”的实质是设而不求

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