级数求和常用公式（大自然的鬼斧神工）

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在今天的故事开始之前，建议大家先阅读我之前写的前两篇文章做铺垫，防止今天的知识点变得突兀和难以理解。

今天，我们继续来讲级数，话不多说，让我们看一个有趣的问题：

级数求和

这个级数很像我们的老朋友调和级数，可是它是交错的，不都是“加法”：

我们的本能是想知道它的得数是多少，然而级数复杂之处就在于：你应该先判断它是收敛还是发散的再算也不迟，否则极有可能无功而返。（想了解收敛和发散，建议大家先看我的第一篇文章）

于是，我们要进行数学分析了：

首先，上面那个通式等价于：

这种样子的级数，我们叫它交错级数

怎么判断这个交错级数收敛还是发散呢？我们第二篇文章讲过莱布尼兹判敛法

莱布尼兹判别法

代入上面的公式，我们有：

根据我们的莱布尼兹判别法，我们知道了它是收敛的。知道它收敛之后，那就好办了。

怎么做呢，我们直接敲个代码进行实验：

交错级数求和c源代码

我们已经知道了它趋于一个定值，收敛就是越加越小的，后面几项不会超过前面了，我们用上面那个求级数的c语言加和前10000项，结果接近0.693147.....，我们发现，它其实就是ln2

多么奇妙，多么有趣的数学？

然而，这样做是极不严谨的，虽然我们验证了10000项求和的结果，然而这个级数是无穷无尽的数进行求和，所以我们需要一个证明。下面我就用数学的方法让大家明白这个ln2究竟是怎么得到的。

ln2不仅可以用实验做出，也可以用理论算出（不过似乎有点问题），话不多说，先有请我们的泰勒公式上场：

我们把x换成-x：

我们对上面这个公式积分：

这里，事情就变得有趣了，大家可以看一下：

我们发现：

这个积分有什么问题吗？x=1能直接带进去吗？

这里出现了一个笔者也无法理解的问题：原来函数的定义域是（-1，1）取不到1，积分之后定义域居然可以把1带进去了？

积分完之后定义域也应该不变才对，凭什么现在可以带1进去算结果呢？

我个人认为（这里只是个人看法，可能不对）：这里的原因可能是，我们刚才证明了原来的级数在-1点收敛，说明这个点在函数的变化中是“光滑”的，于是我们对这个函数进行了合理的“延拓”，不过我并不认为自己的想法是对的。

聪明的读者，你是怎么理解的呢？欢迎留言讨论。