级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)

本文阅读时长约4~5分钟

在今天的故事开始之前,建议大家先阅读我之前写的前两篇文章做铺垫,防止今天的知识点变得突兀和难以理解。

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(1)

今天,我们继续来讲级数,话不多说,让我们看一个有趣的问题

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(2)

级数求和

这个级数很像我们的老朋友调和级数,可是它是交错的,不都是“加法”:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(3)

我们的本能是想知道它的得数是多少,然而级数复杂之处就在于:你应该先判断它是收敛还是发散的再算也不迟,否则极有可能无功而返。(想了解收敛发散,建议大家先看我的第一篇文章)

于是,我们要进行数学分析了:

首先,上面那个通式等价于:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(4)

这种样子的级数,我们叫它交错级数

怎么判断这个交错级数收敛还是发散呢?我们第二篇文章讲过莱布尼兹判敛法

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(5)

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(6)

莱布尼兹判别法

代入上面的公式,我们有:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(7)

根据我们的莱布尼兹判别法,我们知道了它是收敛的。知道它收敛之后,那就好办了

怎么做呢,我们直接敲个代码进行实验:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(8)

交错级数求和c源代码

我们已经知道了它趋于一个定值,收敛就是越加越小的,后面几项不会超过前面了,我们用上面那个求级数的c语言加和前10000项,结果接近0.693147.....,我们发现,它其实就是ln2

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(9)

多么奇妙,多么有趣的数学?

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(10)

然而,这样做是极不严谨的,虽然我们验证了10000项求和的结果,然而这个级数是无穷无尽的数进行求和,所以我们需要一个证明。下面我就用数学的方法让大家明白这个ln2究竟是怎么得到的。

ln2不仅可以用实验做出,也可以用理论算出(不过似乎有点问题),话不多说,先有请我们的泰勒公式上场:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(11)

我们把x换成-x:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(12)

我们对上面这个公式积分:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(13)

这里,事情就变得有趣了,大家可以看一下:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(14)

我们发现:

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(15)

这个积分有什么问题吗?x=1能直接带进去吗?

这里出现了一个笔者也无法理解的问题原来函数的定义域是(-1,1)取不到1积分之后定义域居然可以把1带进去了?

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(16)

积分完之后定义域也应该不变才对凭什么现在可以带1进去算结果呢

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(17)

我个人认为(这里只是个人看法,可能不对):这里的原因可能是,我们刚才证明了原来的级数在-1点收敛,说明这个点在函数的变化中是“光滑”的,于是我们对这个函数进行了合理的“延拓”,不过我并不认为自己的想法是对的。

聪明的读者,你是怎么理解的呢?欢迎留言讨论。

级数求和常用公式(大自然的鬼斧神工)(18)

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页