点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)
今天讲解习题,在同一张试卷中,出现两道点关于直线对称的问题。
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(1)](http://img.studyofnet.com/uploads/1902/b1002a60125.jpg)
这两道习题都涉及到点关于直线对称,而我们求点关于直线对称的点,利用的方法是构造方程组:两直线垂直,即斜率之积等于-1,;两点中点在对称轴直线上。依据是对称轴是两点的垂直平分线。方法固定、简单,但是学生反应繁琐。当然我们可以选择记忆公式,可是公式比运算的繁琐量并不低。所以还是强调学生通过解方程组的方法求对称点。
但是我发现,这两道题中的对称轴直线的斜率为1或-1,当然这并不是偶然,在解决点关于直线对称的问题中,这样的对称轴经常容易出现,或许是因为这样的直线比较容易计算一些。
当然我们解决此类问题也可以选择平移坐标轴,使得直线为一三象限的角平分线或者二四象限的角平分线来完成,这种方法,我不再讲解,今天我着重介绍另一种方法:构造正方形。
这样的思路来源于在上课过程中,我给学生强调构造方程组的依据是对称轴是两点的垂直平分线。垂直平分?脑海中瞬间出现正方形,正方形的对角线相互垂直平分,于是,我借助于图形,快速完美地解决了这类问题。
以第一题为例:
我们容易发现,
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(2)](http://img.studyofnet.com/uploads/1904/b1004a60126.jpg)
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(3)](http://img.studyofnet.com/uploads/1905/b1005a60127.jpg)
接下来,我们构造正方形。
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(4)](http://img.studyofnet.com/uploads/1905/b1005a60128.jpg)
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(5)](http://img.studyofnet.com/uploads/1927/b1027a60147.jpg)
那么其他的点呢?能否也能用这一方法求出对称点呢?
我们选一不在坐标轴上的点来尝试,
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(6)](http://img.studyofnet.com/uploads/1928/b1028a60149.jpg)
如图:
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(7)](http://img.studyofnet.com/uploads/1928/b1028a60150.jpg)
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(8)](http://img.studyofnet.com/uploads/1929/b1029a60152.jpg)
显然是可行的,我们在利用以上方法找出对称轴斜率为1的情况,更一般的情况:
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(9)](http://img.studyofnet.com/uploads/1929/b1029a60154.jpg)
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(10)](http://img.studyofnet.com/uploads/1929/b1029a60156.jpg)
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(11)](http://img.studyofnet.com/uploads/1930/b1030a60157.jpg)
你再来尝试做一下最开始的第2题,看看是否掌握这种方法。
在这里需要注意的是,这种方法只能解决对称轴斜率为1或者-1的情况,其他就没有效果了,譬如,我们来看对称轴斜率为2的直线:
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(12)](http://img.studyofnet.com/uploads/1930/b1030a60158.jpg)
显然,如果我们像上诉方法做出图形后,得出得是是矩形,由于对角线与矩形边所成的角不是45°,所以不是正方形,也就是说,尽管我们可以轻松求出其他点的坐标,但是并不是垂直,所以不可能是对称点。
而我们要得到对称点,得保证垂直平分,即要作出正方形,如下图:
![点关于直线对称的点的求法公式(点关于直线对称的点的例题)(13)](http://img.studyofnet.com/uploads/1931/b1031a60159.jpg)
需要作出与对称轴成45°的直线,显然直线不易作出,交点坐标也不易找到,所以此类方法适用于对称轴斜率为1或者-1的情况,而这种情况在解决点关于直线对称的时候是常见的。
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