不定方程的常用解法，关于不定方程的问题

5.求证方程x^4 y^2=z^4没有正整数解，下面我们就来说一说关于不定方程的常用解法，关于不定方程的问题?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

不定方程的常用解法，关于不定方程的问题

5.求证方程x^4 y^2=z^4没有正整数解。

证明：假定方程x^4 y^2=z^4有正整数解，设在所有正整数解中z最小的解是（x0,y0,z0）.

假定z0是偶数，则x0和y0皆是奇或者皆是偶。

若x0,y0皆是奇，则x0^4 y0^2是4的倍数 2，不是完全平方数，更不是完全四次方数，这与x0^4 y0^2=z0^4矛盾。

若x0,y0皆是偶，设

x0=2x1,y0=2y1,z0=2z1,则

（2x1)^4-(2y1)^2=(2z1)^4.于是

4x1^4 y1^2=4z1^4.

可见y1是偶数，设y1=2y'1,则

x1^4 y'1^2=z1^4.

所以（x1,y'1,z1）也是方程x^4 y^2=z^4的一组解，且z1<z0,这与z0最小矛盾。

由上述讨论可知，z0是奇数，此时x0和y0一奇一偶。

若x0为偶数，我们可知：

x^2=p^2-q^2,y=2pq,z^2=p^2 q^2.这里

（p,q)=1,p>q>0,p,q一奇一偶，于是

x0^2z0^2=p^4-q^4, q^4 (x0z0)^2=p^4.

所以（q,x0z0,p）是方程x^4 y^2=z^4的一组正整数解，但是p<z0,这与z0最小矛盾。

若y0为奇数，我们可知：

x0^2=2pq, y0=p^2-q^2, z0^2=p^2 q^2.

这里（p,q)=1,p>q>0,p,q一奇一偶。

若p为奇数，因（p,q)=1,由x0^2=2pq,可设p=r^2,q=2s^2,(r,s)=1,由于z0^2=p^2 q^2,我们可知：p=a^2-b^2,

q=2ab,z0=a^2 b^2,这里（a,b)=1,a>b>0,a，b一奇一偶。且

r^2=a^2-b^2, s^2=ab.

由于（a,b）=1,所以可设a=u^2,b=v^2,于是r^2=u^4-v^4,即v^4 r^2=u^4.显然，（v,r,u）是方程x^4 y^2=z^4的一组正整数解，但是u<z,这与z最小矛盾。

若p为偶数，同样可推出类似的结果。

综上所述，方程x^4 y^2=z^4没有正整数解。

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