初学数学的十大问题 闲谈数学的基础

数学一直是大多数学生头疼的问题。考前，考生都有心理，我的数学考试怎么考不好？结束了，我忘记了这个问题的解决办法，不要问这种类似的问题。

那么数学基础是什么呢？是数和形。

数是表示事物的量的基本数学概念。由于生产实践对计数和测量的需要，首先产生了自然数（正整数），后又逐渐产生了分数、零、无理数、负数、虚数等。

那么0是不是自然数呢？很遗憾，这个问题没有明确的答案，0究竟是不是自然数仍然是一个有争论的问题。

我们常说的自然数，缘起于数数，通常用作“基数”和“序数”，比如“我国有4个直辖市”的4是基数，“东京是世界第1大城市”的1是序数，那么有没有0个和第0个这样的问题，就有种公说公有理婆说婆有理的意味。

早在公元前400年，巴比伦人就将0作为了数码来使用，而公元200年左右的玛雅人也将0作为数字，然而远在南美大陆的玛雅文明没有机会与其他文明交流。我们现代对于0的观念，源于印度数学家婆罗摩笈多，他在公元628年提出了0的概念，并经由阿拉伯人传至欧洲。

但当时的欧洲并不接受这个虚无的概念。

19世纪的意大利数学家皮亚诺给出了自然数的详细定义，他提出了五条公理，史称皮亚诺公理。在皮亚诺公理中，定义1是起始的自然数，不是任何其他自然数的后继。但是，他的公理即使将1换成0，也不会对自然数的定义有其他影响，五条公理依然成立。

我们现在普遍认可的自然数数系，主要是从集合论的角度定义的。我们将0定义为空集，1是只含有0的集合，2是含有0和1的集合，3就是含有0、1、2的集合，以此类推……这样，我们就能够把一个非0的自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合，这个集合可以到无穷大，也反映了自然数集是一个无限数集。

国际标准《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》，选择了从集合论的角度规定：自然数集包括正整数和0。这样来看，0应该算是一个自然数。

但国外仍然有一些教材，将0划出自然数。这样做有什么好处呢？

比如，我们每个人都知道的分数1/x，其中的x属于自然数，如果0不是自然数，这个分数的分母就不会是0，那么这个分数就会一直成立，有意义。X的y次幂也是一样，在x属于自然数时，如果它不包含0，那么这个幂函数就可以一直有意义。

但是，我国在1993年强制规定我们的符号要参照国际标准，这样，在我国，0就是一个自然数。

0为什么不能作除数（分母、后项）？

1.如果除数（分母、后项）是0，被除数是非零正数时，商不存在，这是由于任何数乘0都不会得出非零正数，所以用0做除数（分母、后项）是没有意义的。但一些领域定义为无穷大（∞），因而∞×0被认为能得到非零正数。

2.如果除数（分母、后项）是0，被除数也等于0，也不行，因为任何数乘0都得0，答案有无穷多个，无法定义。（不定值，NaN）。

函数的本质是数。定义在非空数集之间的映射称为函数。

方程的本质是数。函数等于零即为方程。

不等式的本质也是数。函数不等于零即为不等式。

形是表示事物的图的基本数学概念。由于生产实践对结构和位置的需要，首先产生了点、线、角、面、体（平面/欧式几何），后又逐渐产生了双曲几何（罗氏几何）、椭圆几何（黎曼几何）等。

过直线外一点能作多少条直线和已知直线平行？

平面几何：过直线外一点能作1条直线和已知直线平行。

双曲几何：过直线外一点能作至少2条直线和已知直线平行。

椭圆几何：过直线外一点能作0条直线和已知直线平行。

平行直线

三角形的内角和多少度？

平面几何：三角形的内角和等于180度。

双曲几何：三角形的内角和小于180度。

椭圆几何：三角形的内角和大于180度。

三角形内角和

实际上在基础教育阶段学习到的都是欧式几何。图形都是通过组合和旋转而得到的。图形的大小是通过线段的长度来衡量，而形状则是通过角度的大小来衡量。

在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

我们现在规定圆的角度是360度，60进制，1度=60分，1分=60秒。

时间1秒又被规定为时间的标准单位，适用于全球。

时间为什么也是60进制，和角度居然可以互相转换。且标准时间的最小单位和角度最小单位一样，都是秒。次一级的单位也是一样的，都是分。

角度是几何学的基础，角度单位和时间单位是天文学的基础，是物理学的基础，是科学的基础。

我们仔细研究一下，就知道时间和角度这两种量的关系是十分密切的。原来它们都是古代人民由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。例如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，研究四季的变化，就要观察地球的公转，这里自转和公转的角度和时间是紧密的联系在一起的。因为历法需要的精确度是较高的，时间的单位“小时”，.和角度的单位“度”都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时刻和角度都要求它们的小数单位具有如此的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有那个性质。例如1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60......。

数学上适应把那个1/60的单位叫做“分”，用符号“′”来表示，把1分的1/60的单位叫做“秒”，用符号“″”来表示。时刻和角度都用分、秒作小数单位。

由于地球自传和公转带来的昼夜更替和四季变化是循环往复的，所以就有了数学上周期性的来源。

有了60进制角度制为什么还要10进制的弧度制呢？首先是因为计算圆的周长和面积，球的面积和体积的需要。

1. 圆的周长：C=πd或者C=2πr（其中 d是圆的直径， r是圆的半径）。

2.圆面积公式：S=πr²或S=π×（d/2)²。（π表示圆周率（3.1415927……），r表示半径，d表示直径）。

3.球的面积：S=4πR²。（π表示圆周率（3.1415927……），r表示半径）。

4.球的体积：V=4/3πR³（π表示圆周率（3.1415927……），r表示半径）。

其中圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正数x。

圆周率用希腊字母π（读作[paɪ]）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用九位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

其次是因为角度制是60进制，而实数通常都是10进制，因此如果定义一个函数，定义域是60进制，值域是10进制，那么所绘制出的图形就会发生扭曲。而弧度制可以避免这一缺点，一方面弧度无量纲，另一方面用弧度表示角度的时候，可以做到1个实数和一个角一一对应，如此定义函数时，定义域和值域均较好地保持了10进制的方式。除此以外，在微积分的应用中，弧度制也比角度制的表示结果更加简洁，从实际应用看，弧度制的便利性也远远超过角度制。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。这就是数形结合。

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