数学课程10个核心概念（何为模式来自数学）

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

“模式”一词在书面语和口语中无处不在。此外，大多数作者假设目标读者知道什么是模式，因此没有定义这个术语。我们对在数学、科学、艺术和人文学科的不同领域中使用的“模式”的各种定义进行了探索，目的是在定义的海洋中寻找模式的总体定义或至少是元模式。由于篇幅的限制，本文对模式这个术语在不同领域中的使用情况进行了不完整的综述，但是它提供了一个样本，感兴趣的读者可以从这个样本中进一步探索这个主题，并且它指出了一个方向，在这个方向上可以寻找一种实用的计算方法来度量一个实体中包含的模式的数量。

引言

1950年，控制论之父诺伯特·维纳[53]写道：“世界最有趣的方面之一是它可以被认为是由模式组成的。”在他的《秩序的本质》一书中，克里斯托弗·亚历山大将模式定义为“生命的基本信息特征”[1]。事实上，有人可能会争辩说，进化在一定程度上取决于环境中规律性的存在[44]。因此，公平地说，没有模式，生活不仅没有意义，而且很可能根本不存在。毫不奇怪，单词模式在几乎所有的知识领域都有突出的特征，但即便如此，大多数包含该单词的书籍和文章都假设读者必须熟悉它的含义，因此不必费心给它下定义。根据《牛津词典》的记载，Pattern一词源于中世纪英语单词patron，源自古法语单词patron，而古法语单词patron又来自拉丁语单词patronus(保护者)和pater(父亲)。但模式到底是什么呢？仅仅一个点就值得被称为模式吗？画家Wassily Kandinski补充说，一个点可以被认为是一件艺术品，但艺术品不一定是一种模式。你认为直线是一种模式吗？直线是我们生活中的一个重要标志，这是毋庸置疑的。在数值计算中，一条短而直的水平线(减号)可能从公元300年左右亚历山大港的Heron和Diophantus时代起就被用来表示减法[3]，在中国书面语言中，它是数字1的字符[39]。为直线在模式设计中的重要性辩护，Amor Fenn[10]写道：“直线很少被视为一个效果因素。在设计的早期文章中，它经常被认为是机械的，它扮演着仅次于曲线的第二把小提琴，这可能自然地吸引了新手，因为它更具装饰性。

模式的多学科定义

文献中经常遇到的模式的最一般的定义之一将其指定为“混沌的对立面”[2]。由于混沌的特征是完全无序，因此一个模式必须表现出有序性。一条直线显然是秩序的范例，因此根据这个定义，它必须被认为是一种模式。另一方面，诺伯特·维纳将模式描述为“本质上的一种安排”。它的特点是组成它的元素的顺序，而不是这些元素的内在性质”[53]。同样，Frank Papentin [34]将模式定义为“通过一定数量的关系连接在一起的一定数量的对象”，David Wade [52]同样认为模式必须至少包含两个元素:“两个相似的对象，彼此没有特定的关系，只是相似(因为尽管它们可能全等，但它们没有以任何顺序排列)。第三个物体的加入使得一定程度的规则性开始发挥作用，为一个可识别的模式创造了基础。”这两个定义意味着模式是由某种不同对象的集合组成的，而不仅仅是单个组件，比如一条线。因此，根据维纳的定义，两种排列，一种由平行线组成，另一种由并行线组成，构成了真正的模式。平行线的排列实际上是Amor Fenn的书中的第255号模式(第105页)，他这样描述:“这构成了模式，但在效果上有些单调。每隔三行就省略一行，增加了趣味性。”这两种模式也属于Ulf Grenander [17]，[18]定义的开放模式的范畴。

《牛津词典》对模式给出了两个不太通用的定义。第一种是“在可比较的物体或事件中经常发现的一种形式或顺序。”第二种是“在某些动作或情况下可以辨别的规则的、可理解的形式或顺序”。这些定义仍然足够笼统，足以包括我们五种感官中的任何一种都能感知到的模式，但它们通过用可理解的序列来描述模式来缩小范围。不用说，上面定义的两种排列是易于理解的(有序的)元素序列：按高度和坡度排序的线条。

心理学家在更狭隘的意义上使用这个术语模式。理查德·L·格雷戈里[16]将模式定义为“接受者在空间或时间上的某一组输入”。在线心理学词典[55]将模式定义为“将独立的组成部分组成一个复杂整体的时间或空间安排。”在这两个定义中，模式被限制在时间和空间的领域。由声音刺激产生的音乐节奏是时间模式的典型例子，尽管有符号的音乐通常将所需的声音信号表示为可视的二维空间模式[46]。上面讨论的两种排列都是空间模式的例子。然而，在后一种定义中使用“独立组件”和“涉及整体”这两个词是有问题的。如果“独立组件”的意思是组件之间不能接触，那么并行线的排列就不是一种模式。如果‘独立组件’是指组件是彼此独立地生成的，那么这两种排列都不是模式，因为两种排列都是根据精确的规则生成的，每条线完全依赖于先前生成的线。此外，“牵涉其中”一词表明，整体在某种程度上肯定是复杂的。然而，大多数人会认为这两种线路安排非常简单。

与“模式”一词相似的术语有“形状”、“形式”和“格式塔”。心理学家加纳用“模式”一词来表示格式塔[13]，并写道:“一般来说，格式塔是一种形式、一个图形、一个配置或一个模式。”牛津词典将形式定义为“某物的可见形状或配置”。心理学家吉布森在他题为《什么是形式?》如果这些术语要有用，那么它们的定义就需要更加精确。他哀叹“形式这个术语被不同的人用来表示不同的事情，被同一个人在不同的场合用来表示不同的事情。”根据吉布森的说法，“形状、图形、结构、模式、顺序、安排、配置、计划、轮廓、轮廓是相似的术语，没有明显的含义。”这个模糊的术语使哲学家、艺术家、批评家和作家感到困惑和晦涩。对于科学家和心理学家来说，这是一个更严重的难题。”他接着提出了许多视觉形式的明确定义，并讨论了它们与[14]形式感知研究的相关性(参见Nagy[31]的讨论)。

在室内装饰、纺织品和时装的设计师世界中，模式和设计这两个词经常被搭配在一起，这里的模式以相当具体的方式定义[7]、[12]、[19]。《兰登书屋学院词典》对模式的主要定义是：“由规则排列的元素组成的装饰性设计，如墙纸、瓷器或纺织品。”对模式设计师刘易斯·戴[6]来说，“模式”一词指的是装饰品，尤其是重复的装饰品。事实上，模式是重复的自然产物。设计师Amor Fenn[10](第104页)写道：“模式的本质是重复，在许多形式的装饰工作中，这是由生产过程确保的，例如墙纸和纺织品设计。这些，无论是印刷的还是编织的，都由一个机械重复的单元组成，相对来说，它只占该区域的一小部分。图1展示了Amor Fenn的书中的希腊花瓶边框模式的例子，由一系列尖尖的心形装饰组成，位于另一系列倒置的心形之上。吉布森认为装饰品是模式，因此，如图1所示的边框模式实际上是元特征，也就是模式的模式。事实上，边界的概念本身就是自然和文化模式的宏大图式中的一个元模式[51]，[50]。在数学文献中，边框模式被称为卷边模式。此外，对重复模式的分类已经得到了广泛的发展[5]，其依据是墙纸群(在二维情况下是墙纸群)。

图1 Amor Fenn的《抽象模式设计》一书中列出的希腊花瓶边框模式。

通常归属于模式的属性是可区分的规则性，其中模式的元素以可预测的方式重复。例如，Nikos Salingaros认为规律性是一个模式的关键属性[38]。根据Richard Proctor [36],“事实上，任何形状或线条重复足够多次都会产生某种模式，因为根据定义，模式是元素或主题重复的结果。分配系统和模式的相对细节决定了特定模式的表面复杂性。然而，复杂性并不能保证质量。”几乎所有来自模式设计领域的定义，如上所述，都是利用重复的特性来描述模式:模式的元素(例如图1中的心形模式)必须重复才能产生一个整体模式。

到目前为止所描述的视觉模式可以被认为是具体的，因为我们的视觉很容易观察到它们。除此之外，还有抽象的模式，特别是在数学领域，只有通过分析才能发现和理解[43]。许多学者强调了模式在数学领域的重要性[37]。“数学论坛上的数学博士”的彼得森博士写道，从数学的角度来看，“模式是一个模糊的词，没有任何明确的定义”[56]。另一方面，互联网网页Math is Fun将模式定义为：“按照一条或多条规则安排的事物”[57]。用基思·德夫林的话说：“数学是关于模式的科学，这些模式可以在任何你愿意寻找它们的地方找到，在物理宇宙中，在生活中的世界中，甚至在我们自己的头脑中。”物理学家理查德·P·费曼[11]给出了以下更简洁的定义：“数学是在寻找规律。”数学家戈弗雷·H·哈代[20]写道：“数学家就像画家或诗人一样，是模式的制造者。”

数学家深入探索的一种模式搜索(或制作)涉及包含在无限元素序列中的模式，就生成这些序列的规则(或公式)而言[42]。考虑图2中元素(主题或模式)的无限序列。通过分析，您能否推断出应该插入问号(？)位置的缺失主题，或者应该出现在三角形之后的所有主题？乌尔夫·格勒南德[17](第4页)认为，模式是一种结构，“由规则产生，以产生规则或行为”。因此，这里的问题变成了发现产生序列的规则。

图2：几何模式的无限序列

推理和组织原则的一条线可能是由直线和曲线以及仅由曲线组成的重复的三种主题模式。由于第七个基序只由直线组成，因此第六个基序应该只由曲线组成，因此看起来可能类似于图3中的倒置心脏。在这个序列中发现模式需要确定解释或预测序列的规则。Nolan对模式[33]的定义列出了这样一个规范的两个充要条件：“p是模式当且仅当：(1)p有组织原则，(2)组织原则需要重复。”在图3的序列中显而易见的一个看似合理的组织原则是由三个连续元素组成的段中出现的线(直线或曲线)的顺序和类型组成。此外，重复这第一个3元素段。因此，这是该序列中包含的模式的一个可能的候选者，在诺兰的定义下是有效的。然而，倒过来的心可以被圆圈取代，既不违反组织原则，也不违反重复的性质。此外，其他的组织原则也可能“解释”这两个序列。例如，三个相邻模式的组可以分别被描述为具有对角线(第一、第四和第七模式)、水平线(第二和第五模式)和没有(第三和第六模式)。更令人不安的是，这两个组织原则未能准确地预测出三角形应该遵循的所有无限主题。一个好的模式(规则)应该能够唯一地预测整个主题序列，但上面提出的规则允许太多的选择自由。换句话说，这些组织原则促进了模式的创建或生成，而不是促进了模式发现。

图3：序列问题的一个可行解决方案

另一方面，考虑图4所示的序列。该序列的组织原则明确地预测了该三角形后面的所有无限主题。此外，在由这种模式产生的序列中，根本没有重复，每个主题都不同于其他主题。因此，诺兰在他的模式定义中列出的第二个条件在这种情况下是多余的。图4中的顺序是由所有数学规则中最引人注目和最基本的规则之一决定的。因此，组织原则足以定义该主题序列中的模式。这是一个练习，留给读者去发现正确的规则。(提示：使用数论。)

图4：序列问题的正确解决方案

在感知的问题上，特别是视觉或听觉模式的问题上，总是会出现一个问题，那就是该模式是外部刺激本身还是停留在感知者头脑中的其他感知。模式是客观上可观察和可测量的，还是主观的体验。人类有时看不到存在的刺激物，有时看到不存在于感知者之外的模式，这是众所周知的现象。一个给定的刺激模式可能被感知为不同的模式，这取决于刺激模式发生的背景[47]。在无意义的噪音中发现有意义的模式的现象被称为模式性，反之，不感知视觉刺激中存在的模式被称为非模式性[40]。然而，在刺激物中没有模式的情况下，感知模式的现象不需要局限于无意义的噪声。即使是结构化的模式也可以引起这种感知。这种主观的轮廓，正如它们被称为的那样，是由我们大脑中的知觉机制创造的[54]。事实上，它们是每个人通常都会经历的幻觉。威廉-吉布森（William Gibson）写了一本小说，围绕人类感知模式的自然倾向，以及由此产生的风险和后果[15]。

许多关于模式的讨论都集中在几何模式上，因此有必要对这个术语的含义进行说明。关于几何学，古希腊哲学家柏拉图[58]认为，"上帝永远是几何学的"。两千年后，天文学家约翰内斯-开普勒[41]写道："有物质的地方就有几何"。由于物质无处不在，人们可以说所有的东西都是模式，而所有的模式都是几何学。使用更具体的术语，特里-W-奈特[24]提供了一个基于几何结构的规则性和变换的模式定义。"模式是一组空间元素：点、线、平面或体积，在二维或三维空间。"

随机性、复杂性和模式度量

目前，哲学家们正在就诸如虚幻轮廓之类的模式是真实的还是想象的[32]展开辩论。然而，这是一个棘手的问题，最好留给哲学家来解决。一个更现实的问题是，点的随机配置是否值得称为一种模式。缺乏模式和随机性是同一个概念吗？相对于真正的非随机性，感知的非随机性是否足以使某件事成为一种模式？哲学家丹尼尔·丹尼特[8]说：“在完全没有模式或随机性盛行的地方，没有什么是可预测的。”在关于随机性的讨论中，区分用于生成模式的过程和结果产品是有帮助的。一个完全随机的过程实际上很容易产生高度结构化的模式。考虑将一枚硬币抛16次，得到正面(H)和反面(T)的模式。像HTHTHTHTHTHTHTHTHTHT这样的高度结构化的模式，和非常不规则的HTHHHTHTTTHHHHHT模式一样有可能。此外，在后者中，连续的头部或尾部的不规则模式很容易被察觉到，这也有助于对模式的感知。类似的行为在两个维度的网点模式中也很明显。人类视觉系统很容易从随机的点集合中提取结构信息[49]。在这种情况下，实验已经证明，位于集合外围(凸壳)上的点在提供关于整个集合的形状信息方面起着突出的作用[21]。

有人试图将一个实体拥有的模式数量与其复杂性等同起来。Daniel Dennett[8]认为无模式和随机性是等价的。在传统的信息论中，完全随机性被认为等同于最大复杂性[4]、[25]，其中模式的复杂性是通过它在某种语言中的最短描述(最小描述长度)来衡量的。一些研究人员试图定义美学的数学度量，这可以被认为是模式的度量。Klinger和Salingaros[23]提出了一种评估简单模式审美趣味性的数值方法。它们的量度取决于模式的两个参数：不同类型元素的数量，以及它们排列中的对称性数量。这些想法提出了一种可能的模式定义：如果一个实体的最小描述长度小于该实体本身的长度，则该实体具有模式。然而，复杂度最低的实体不一定具有模式。一串相同的符号可能被认为太规则而不具有模式。一些音乐学家会说，一串等间距的脉冲不是节奏模式，而仅仅是一种脉动。需要更多的东西来衡量模式，Papentin的复杂性度量[34]在这里是相关的。Papentin从一个暂定的定义开始，即对一个系统的最短描述的长度是对其无序性的衡量。然后，他用两种不同的类型来定义复杂性：有组织的复杂性和无组织的复杂性。由Corg表示的有组织的复杂性是通过决定模式形成的规则的最小描述的长度来衡量的。无组织的复杂性由Cunorg表示，由模式的随机方面(无法通过规则描述的模式方面)的最小描述的长度来衡量。Papentin对复杂性的度量是由方程C=Corg Cunorg给出的。有非常大量的可能方法来度量有组织的复杂性或无序性。在实践中，不可能确保已经考虑了所有方法以获得最小描述长度。为了得到一个能给出最小描述长度上界的实用方法，必须将搜索限制在被测量实体的几个容易计算的性质上。Kruger[26]、Papentin和Kruger[35]采取的一种方法是用同质性和对称性来定义秩序。Kruger将齐性定义为二进制序列在其循环排列下的不变性，对称性定义为二进制序列在其求逆的循环排列下的不变性。这两个性质都很容易计算，因此很实用。对称性既可以像克鲁格那样全局性地衡量，也可以更一般地以对称的单位来衡量[1]、[48]。子对称与模式感知更相关，而不是全局对称，因为它们对对称的层次很敏感。此外，次对称既包括全局对称，也包括局部对称。然而，尽管这两种方法都能够准确地指出人类对简单性的判断，但当涉及到复杂性时，它们就更加模棱两可。当模式很简单时，人类似乎很容易达成一致，但当模式复杂时，就不那么容易了。

结论

一些作者提供的关于模式的非常普遍的定义，可能会诱使人们得出结论，每一个物体，无论是现实的还是想象的，都是一个模式。然而，从所概述的更为具体和有用的定义中出现的一个属性是重复性。一个模式必须有一些东西是完全重复的，或者根据可识别的转换，如镜像对称[27], [28]。在他对形状定义的研究中，George Nagy[31]得出结论："形状的概念本身似乎是无定形的，而不是清晰的 界定"。我们已经看到，定义模式与定义模式的复杂性的定量测量密切相关，这是一个充满困难的领域。John Maddox[30]用这些话总结了这种情况。"寻找说明数字数据复杂性的方法是迫切的，但是 令人沮丧。现在，在断言没有单一的措施时，可能会有一些安慰"。在获得一个实体的模式化程度的单一测量方法的道路上，可能会遇到类似的绊脚石。找到在各种情况下都能很好工作的模式的计算效率属性是一个具有挑战性的开放问题。

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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