高中立体几何二面角的逆定理（高中数学立体几何中用向量法求二面角的平面角）

空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。

求空间角是立体几何的一类重要的问题，本节主要是介绍怎么样用空间向量的方法解决立体几何问题中求二面角的平面角的方法。

一、什么是二面角？

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这两个半平面叫做二面角的面，这条直线叫做二面角的棱。

二面角由半平面--线--半平面构成：

2、二面角的表示:

如上图：① 二面角 α-l-β ;② 二面角 P-l-Q ; ③ 二面角 α-AB-β ；④ P-AB-Q 。

3、二面角的画法：

① 平卧式：

② 直立式：

4、二面角大小的度量：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小用它的平面角来度量。

5、二面角的平面角必须满足：

1）角的顶点在棱上 ；

2）角的两边分别在两个面内 ；

3）角的边都要垂直于二面角的棱 。

6、二面角的取值范围：

二面角的平面角的取值范围是：【0，π】

二、二面角的平面角求法

1、定义法：

2、射影面积法：

例题：如图所示，△ABC 在平面 α 内的射影是 △A1BC ，其中三角形的面积分别为 S 和 S1 , 求二面角 A-BC-A1 的余弦值 。

射影面积法：cosθ = S影/S = S1/S 。

3、向量法：

① 思路：二面角的平面角 ∠AOB 转化成与棱垂直的法向量 V1 和 V2 的夹角。

② 转化方法：

③ 平面的法向量：

1、法向量的夹角与二面角的大小相等或互补；

注：解题时角的取值根据图形判断 。

2、求平面的法向量的坐标的一般步骤：

第一步(设) : 设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z)；

第二步(列) : 根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组

向量 a、b 在平面内

第三步(解) : 把 z 看作常数,用 z 表示 x、y；

第四步(取) : 取 z 为任意一个正数(特殊值)，便得到平面法向量 n 的坐标。

三、典型例题讲解

例题1、如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形，∠DAB = ∠ABC = 90° ，SA⊥平面 ABCD ，SA = AB = BC = 1 , AD = 1/2 , 求面 SAB 与面 SCD 所成的锐二面角的余弦值。

解答过程：

建立如上图所示的空间直角坐标系 A-xyz ;

则 A（0,0,0），D（1/2,0,0），C（1,1,0），S（0,0,1）；

设向量 n1 = （x,y,z）是面 SCD 的法向量，则有：n1⊥DC , n1⊥SD ；

∵ 向量 DC = （1/2,1,0），向量 SD = （1/2,0,-1），

∴ 平面 SCD 的法向量 n1 = （2，-1,1），

易知面 SAB 的法向量 n2 = 向量 AD = （1/2,0,0），

所以所求锐二面角的余弦值为 √6/3 。

例题2、四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD ，PD∥QA ，QA = AB = 1/2 PD 。

（1）证明：平面 PQC⊥平面 DCQ ；

（2）求二面角 Q-BP-C 的余弦值 。

解答过程：

总结：

1、利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程，解题的关键是确定相关平面的法向量。

2、利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：

① 建立空间直角坐标系；

② 找相关点的坐标；

③ 求相关平面法向量的坐标；

④ 求两法向量的夹角；

⑤ 求定值 。

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