几何求面积经典题目（看似简单的几何题求面积）

这是头条网友发给我的几何题，说是五年级的题目，看了一下，小学生应该做不出来。

题目：边长为4的正方形里面有个内接圆，用正方形边长为半径以正方形的两个相对顶点为圆心作两个扇形，求扇形圆弧与内接圆围成的面积。

几何题

解题分析：题目看起来简单，其实很不好做。如果所求扇形的角度不是特殊角，只能用反三角函数来表示角度。

我们可以作辅助线，画出图形，找到解题思路，计算一下角度。

作辅助线

解题思路：一个月牙阴影的面积与三个图形的面积有关。一个月牙阴影的面积=凹四边形AFOH面积 扇形OFH面积-扇形AFH面积。

思路有了，我们现在来计算。看△AOH，AH=4，AO=2√2，OH=2，知道三角形三边的长，可以用余弦定理求出三角形的角度。

OH²=AH² AO²-2AH×AOcos∠OAH，

4=16 8-16√2cos∠OAH，

16√2cos∠OAH=20，

cos∠OAH=5√2/8，

∠OAH=arccos(5√2/8)，

∠FAH=2arccos(5√2/8)。

为了求另一个扇形面积，我们还要求△AOH的另一个角∠AOH，然后求∠FOH。

AH²=AO² OH²-2AO×OHcos∠AOH，

16=8 4-8√2cos∠AOH，

2√2cos∠AOH=-1，

cos∠AOH=-√2/4，

∠AOH=arccos(-√2/4)，

∠COH=π-∠AOH=π-arccos(-√2/4)，

∠FOH=2∠COH=2π-2arccos(-√2/4)。

角度算出来了，两个扇形的面积就可以算出来了。

扇形AFH面积=(∠FAH/(2π))×π×4²

=8×2arccos(5√2/8)=16arccos(5√2/8)。

扇形OFH面积=(∠FOH/(2π))×π×2²

=2(2π-2arccos(-√2/4))

=4π-4arccos(-√2/4)。

凹四边形AFOH面积等于两个△AOH的面积。我们可以用海伦公式S△=√(p(p-a)(p-b)(p-c))求三角形的面积。

凹四边形AFOH面积=2S△AOH

=2√((3 √2)(√2-1)(√2 1)(3-√2))

=2√(7×1)=2√7。

一个月牙阴影的面积

=凹四边形AFOH面积 扇形OFH面积-扇形AFH面积

=2√7 4π-4arccos(-√2/4)-16arccos(5√2/8)。

两个月牙阴影的面积乘2即可。