一元二次方程的性质及公式(浅谈一元二次方程的解法)

一元二次方程,是初中阶段方程中比较重要的一个。不止可以单独考查,还可以结合函数来出题。从历年的期末、中考卷就可以看出它的重要性。基于此,今天给大家分享我精心总结的一元二次方程基础知识,先从基础开始,逐渐深入掌握。

一、 一元二次方程的定义及一般形式:

只含有一个未知数x,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式:

(a≠0),其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。

因此,一元二次方程必须满足以下3个条件:

① 方程两边都是关于未知数的等式

② 只含有一个未知数

③ 未知数的最高次数为2

如:

为一元二次方程,而像就不是一元二次方程。

二、 一元二次方程的特殊形式

(1)当b=0,c=0时,有:

=0,∴

=0,∴x=0

(2)当b=0,0≠0时,有:

,∵a≠0,此方程可转化为:

①当a与c异号时,

,根据平方根的定义可知,

,即当b=0,c≠0,且a与c异号时,一元二次方程有两个不相等的实数根,这两个实数根互为相反数。

②当a与c同号时,

,∵负数没有平方根,∴方程没有实数根。

(3)当b≠0,c=0时,有

,此方程左边可以因式分解,使方程转化为x(ax b)=0,即x=0或ax b=0,所以x1=0,x2=-b/a。由此可见,当b≠0,c=0时,一元二次方程

有两个不相等的实数根,且两实数根中必有一个为0。

三、 一元二次方程解法:

1. 第一步:解一元二次方程时,如果给的不是一元二次方程的一般式,首先要化为一元二次方程的一般式,再确定用什么方法求解。

2. 解一元二次方程的常用方法:

(1)直接开方法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程中缺少一次项,是一个形如ax2 c=0的方程时,可以用此方法求解。

解法步骤:①把常数项移到等号右边,

②方程中每项都除以二次项系数,

③开平方求出未知数的值:

(2)因式分解法:把一元二次方程化为一般式后,如果方程左边的多项式可以因式分解的话,可以使用此方法求解。

解法步骤:①把方程的左边因式分解,转化为两个因式乘积的形式;

②令每个因式分别等于0,进而求出方程的两个根;

例:解关于x的方程:

解:把方程左边因式分解成:(x-m)(x n)=0

∴x1=m,x2=n

(3)配方法:当一元二次方程化为一般式后,不能用直接开方和因式分解的方法求解时,可以使用此方法。

解法步骤:①若方程的二次项系数不是1,方程中各项同除以二次项系数,使二次项系数为1;

②把常数项移到等号右边;

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

④方程左边变成一个完全平方式,右边合并同类项,变为一个实数;

⑤方程两边同时开平方,从而求出方程的两个根;

例:解方程:

解:方程两边同除以3得:

移项,得:

即:

∴ x 2=±√6

(4)公式法:利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程,适用于所有的一元二次方程。

求根公式:,其中a≠0。

解法步骤:①先把一元二次方程化为一般式;’

②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值;

③计算出b2-4ac的值;

④把a、b、b2-4ac的值代入公式;

⑤求出方程的两个根;

例:解方程:

解:(1)方程中:a=1,b=-4,c=4

∴x={-(-4)±√0}/2×1=2,∴原方程根为

四、一元二次方程根的判别式

1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx c =0(a≠0)的根的判别式。

利用根的判别式可以判断根的情况:

(1)当△≥0时方程有两个实数根:

当△>0时,方程有两个不相等的实数根;

当△=0时,方程有两个相等的实数根;

(2)当△<0时,方程无实数根。

例:关于x的一元二次方程

有实数根,求m的取值范围。

解:当m-1≠0时,即:m≠1时,该方程是关于x的一元二次方程。

∵ △≥0,即

=-28m 44≥0,解得:m≤11/7

∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。

五、一元二次方程根与系数的关系:

1.定理:设一元二次方程

(a≠0且

)的两个根分别为x1和x2,则:x1 x2=-b/a,x1·x2=c/a

特别地:对于一元二次方程

,根与系数的关系为:

x1 x2=-p,x1·x2=q

注:①此定理成立的前提是△≥0,也就是说方程必须有实根时才可以使用。

②此定理又叫韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例:

一元二次方程的性质及公式(浅谈一元二次方程的解法)(1)

一元二次方程的性质及公式(浅谈一元二次方程的解法)(2)

一元二次方程的性质及公式(浅谈一元二次方程的解法)(3)

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