容斥原理与重叠问题的区别（包含与排除容斥原理）

容斥原理是为了避免重叠部分被重复计算的一种计数方法。操作原理是：先不考虑重叠部分，把整体中包含的所有数目先计算出来，然后再将重复部分排除出去，使计算结果没走重复和遗漏。

应用容斥原理，可以解决许多有趣的数学问题。容斥原理常常需要用到文氏图。

例1、六年级一班有45名学生，参加语文小组的有25人，参加数学小组的有35人，如果每人都至少参加一个小组，则这个班两个小组都参加的有多少人？

如图所示，左边的圆表示参加语文小组的人数，右边的圆表示参加数学小组的人数，中间重叠部分表示两个小组都参加的人数。

25 35=60（人）

60-45=15（人）

答：这个班两个小组都参加的有15人。

在上题中，因为每个人都至少参加了一个小组，所以全班45人都包含在两个圆的范围内。如果不是所有人都至少参加了一个小组，有人没有参加任何小组的时候，在圆之外还有人，这种情况下就再加一个长方形边框，把所有人都体现出来。

例2、六年级二班有46人，其中参加语文小组的有12人，参加数学小组的有18人。还有12人既没有参加语文小组也没有参加数学小组，那么两个小组都参加的有多少人？

如上图所示，左圆表示参加语文小组的人数，右圆表示参加数学小组的人数，两个圆的重叠部分表示两个小组都参加的人数，圆之外长方形以内表示两个小组都没有参加的人数。

46-12=34（人）

20 18-34=4（人）

答：两个小组都参加的有4人。

每天分享一点数学知识，每天都有新发现[比心]