初中一年级数学二元一次方程妙解（如何巧妙地解一元二次方程）

我们在利用一元二次方程解决问题的时候，通常先列方程，方程的结构类似于两个一次方程的乘积等于某一个数值（一会给大家看具体例题）。正常的解法是先整理这个方程为一般形式，再运用公式法或者配方法，甚至是因式分解法（十字相乘法）求解。

那么，有没有简单巧妙地方法来解这类方程呢？

接下来就分享给同学们一种更简单更快的解题方法。相信同学们一定会从中受到启发。我们一起来看下面这道题。

解析思路：

（1）观察函数图像，找出两点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式

（2）根据“每千克的销售利润销售数量＝总利润”，即可得出关于x的一元二次方程，求解方程并检验.

解:（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，把（10，40），（18，24）代入得:

10k＋b＝40，18k＋b＝24，解得:k＝2，b＝60

∴y与x之间的函数表达式y＝-2x＋60（10≤x≤18）；

（2）通常方法解题：根据题意，得:（x-10）（-2x＋60）＝150，整理得: x²-40x＋375＝0，（利用公式解这个方程，步骤略）解得:x₁＝15，x₂＝25（不合题意，舍去）.

答:该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元

另一种简单方法解题：我们在解方程（x-10）（-2x＋60）＝150时，可以作如下变形:

由（x-10）（-2x＋60）＝150，得: -2（x-10）（x-30）＝150，

∴（x-10）（x-30）＝-75，那么转化为方程［（x-20）＋10］［（x-20）-10］＝-75，

∴（x-20）²-10²＝-75，

∴（x-20）²＝100-75，

∴（x-20）²＝25，

∴x₁＝15，x₂＝25.

重点在这里:（x-20）中的20是怎么来的呢？

它是（x-10）与（x-30）的平均数，即（x-20）＝2［（x-10）＋（x-30）］，这样可以将（x-10）（x-30）转化为含有x的一次多项式与常数的平方差，即为［（x-20）＋10］［（x-20）-10］＝-75，再转化为（x-20）²＝25，然后直接开平方就得到方程的根。

这样的解题方法，我们可以称之为“均值平方差”，这种方法同样可以用来，解决二次函数的实际问题。

再给大家举个例子：

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数表达式；

（2）若该经营部日均获利1350元，那么销售单价是多少？

解:（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数表达式为p＝kx＋b，根据题意，得:7k＋b＝500，12k＋b＝250，解得:k＝-50，b＝850.

答:日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数表达式为p＝-50x＋850；

（2）根据题意，得:

（x-5）（-50x＋850）-250＝1350，

解得:x₁＝9，x₂＝13.

∵销售单价不得高于12元桶，也不得低于7元桶，∴x＝13不合题意，

答:若该经营部日均获利1350元，那么销售单价是9元

均值平方差:在解方程（x-5）（-50x＋850）-250＝1350时，方程可化为-50（x-5）（x-17）＝1600，

即（x-5）（x-17）＝-32，利用“均值平方差法”可得:

［（x-11）＋6］［（x-11）-6］＝-32，∴（x-11）²-6²＝-32，

∴（x-11）²＝4，∴x₁＝9，x₂＝13

这里的11就是5加17的平均值，再结合平方差公式。同学们，看明白了吗？

数学的学习就在于整体地学，学会联系地学，学会善于总结和归纳。同学们还有更好的方法，要记得和我们一起分享哦。