大多数孩子找不到解题思路的题（和孩子一起研究了一道经典的操作题）

儿子从学校放学回家后，问了我一道题目。

有5只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的4只杯子。能否经过若干次翻转，使得5只杯子全部杯口朝下？

小家伙在学校里没有做出来，他给出的理由是学校里没有杯子，想着回家后拿实际操作一下！但是家里也没有这么多玻璃杯，不过碗有的是。我们很快就在桌子上摆好了五只碗，让碗口朝上，接下来就按照规则“每次翻转其中4只”开始翻动。

折腾了一阵子，我们唯一的“收获”就是不小心打碎了一只碗，但始终没有翻成5只碗全部碗口朝下，悲催得紧。然而也不能就此得出“不能”这个答案，有可能是“能”的，只是我们自己“不能”翻出，或许别人就可以。

毫无疑问，光靠这样盲目地翻动是不行的，还得需要从数学原理入手，发现这个问题背后隐藏的数学规律。接下来我们就把碗放一边，开始用笔研究了。

对一个碗来说，只有“碗口朝上”、“碗口朝下”这两个状态。生活中类似的只有两个状态的东西还有不少，比如灯有“开、关”，锁有“打开、锁上”，硬币有“正面朝上、反面朝上”… 这些有两个状态的东西在数学题目中是经常出现的。对于硬币的状态，儿子提出了不同意见，认为还可以“竖起来”！好吧，只是这种情况在数学题目中一般不予考虑。

此类具有两个状态的东东，总是和操作联系紧密。

• 翻碗的操作：让碗在口朝上、口朝下之间来回切换
• 按开关的操作：让灯在开、关之间来回切换
• 翻硬币的操作：让硬币在面朝上、面朝下之间来回切换

假如给定一个初始状态（比如碗口朝上），再给定一个翻动次数（比如k次），能不能判定翻动k次结束后的结束状态呢？

回答这个问题没有难度，因为这是一个简单的操作类周期问题：

从表格可以看出，如果k除以2余1则碗口朝下；如果k除以2没有余数，则碗口朝上。推而广之：

• 操作次数为奇数次，则结束状态不同于初始状态（状态改变）
• 操作次数为偶数次，则结束状态等同于初始状态（状态不变）

由此可见，诸如此类只有两个状态的操作问题，与操作次数的“奇偶性”关系密切（从周期性中总结出的规律）。

回到题目上来，每个杯子也是只有两种状态（杯口朝上、杯口朝下），只不过题目中给出的杯子有5个。初始时，每个杯子的杯口都朝上；问经过若干次操作后，能否使得杯口朝下。

显然，每个杯子的杯口朝向都发生了改变，即每个杯子都被操作（翻转）了奇数次。不妨假设5个杯子被翻动的次数为k1、k2、k3、k4、k5，所有杯子被操作的次数（单个杯子被翻动一次就算操作1次）之和为S=k1 k2 k3 k4 k5。那么这个总和S是奇数还是偶数呢？

这个基本的奇偶性问题难不住儿子，他很快回答出S是奇数。因为奇数个奇数之和是奇数，S是由5个奇数加起来的，所以S是奇数。

题目规定每次要翻动4个杯子，为了避免混乱，我们不妨称这里的“次”为“轮”：每轮操作翻动4个杯子，即翻动4次。假设经过了n轮操作，那么总共翻动了多少次呢？这当然很简单，每轮翻动4次、翻动了n轮，翻动总次数S就是4n。

OK，是时候揭晓答案了！假如可以经过若干次操作，使得5个杯子的杯口朝下，那么操作总数即可以表示成S=k1 k2 k3 k4 k5，也可以表示成S=4n，显然有如下等式：

k1 k2 k3 k4 k5=4n

等式左侧为奇数，等式右侧为偶数，这怎么可能成立呢？所以结论就很明确了，不是“臣妾做不到”，而是“皇上来了也做不到”，总之谁也做不到！

不过我们并没有满足于单单解出这一道题，而是想进一步举一反三，于是就尝试着改变了题目的条件：教室里有7盏全部亮着的灯，每次关掉其中的2盏。能否经过若干次操作，使得7盏灯全部被关掉？

前后两个题目对比，看看哪些条件变化了、哪些没有变，能不能从中抽取出关键的数学量、同时排除掉一些不重要或是压根无关的描述呢？

有7盏灯（关键：7是奇数），若想全部7盏灯从亮到灭，因为每盏灯都改变了初始状态，因此都要操作奇数次。假设这7盏灯分别被操作k1、k2、...、k7次，则7盏灯总共被操作k1 k2 ... k7次。因为7是奇数，且k1、k2、...、k7均为奇数，所以k1 k2 ... k7为奇数，不可能为偶数。

假设根据规则操作了n轮（每轮操作2盏灯，2是偶数）后，7盏灯都灭了；那么操作的总次数（一盏灯被操作一次就算一次）是2n。由此可以得出如下的等式： k1 k2 ... k7=2n

等式左侧为奇数，等式右侧为偶数，显然是不成立的。

现在，你get到此类题目的“出题方向”了吗？如果你已经get到了，可以动手解决一下这道题哦！

小胖同学尝试出了一道题目“有m（m≥2）枚硬币全部正面朝上放在桌子上，每次翻转其中的A枚。经过若干次翻转，能使所有硬币全部反面朝上吗？”但是其中的m、A他不知道应该设计成多少，请帮他一下！