高考数学秒杀技巧理科椭圆选择题（高考数学不难点）

大家都在喊高考数学太难了，其实和大学数学比起来，高考的题目大多数都只能算小儿科。如果高考的数学不出得难一点，到了大学，如何解决得了高等数学的问题呢？下面是高等数学一道普通难度的题目，关于抛物线截取法线的线段最短问题。老黄感觉解这样的题目，有点像撞大运，撞对方向就解出来了，撞错了方向，就怎么样也解不出来。

在抛物线y^2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.

瞧这题目看起来，多简单！但千万不要被它“老实”的外表欺骗了，字越少，看起来越简单的高数问题，有可能越麻烦哦。

可以利用逆向思维，找到解题的思路。这道题并不适合使用几何法，用代数法一般都是直接利用两点的距离公式，列出两点距离与某个交点的横(或纵)坐标的函数关系，利用这个函数的导数，分析它的单调性和原函数的最值(通过比较极值和端点值等的大小)，来得到这个最短距离。并确定问题的答案。

这就需要两个交点的坐标，其中可以包含一个未知数。这可以通过求过这两点的直线与抛物线的交点来实现。过这两点的直线，就是抛物线在某点的法线。也就包括与这条法线互相垂直的切线的切点。这道题实质就是要求这个切点。其图像如下：(这里默认p>0)

而这个切点肯定是需要通过假设它的坐标来得到的。再结合对抛物线求导，得到切线斜率，就可以得到抛物线过这点的切线方程。再把上面逆向思维的过程反转过来，变成正向的逻辑思维。

有了切线方程，就可以列切线和抛物线的交点方程，解得两个交点的坐标，再列两点的距离公式，得到距离关于切点的一个坐标的函数。最后求导，确定距离函数的变化趋势，以得到最小值，就能得到切点的坐标。

分析起来一套一套的，真正解起来，又会有不少问题，老黄放在解题过程中进行插叙分析。

解：∵2yy’=2p, ∴y’=p/y. 【对抛物线方程两边同时求导，从而得到y的导数，如果把它化为y'=根号(p/(2x))，下面的运算反而会更麻烦】

设 抛物线上一点(a,b)，则 过这点的法线方程为：y-b=-b(x-a)/p, 代入x=y^2/(2p), 得：

y-b=-b(y^2/(2p)-a)/p，即y^2 2p^2y/b-(2p^2 2pa)=0，【方程会有不同的形式，但这是对运算最有利的形式】

(y1-y2)^2=4p^4/b^2 8p^2 4pa=2p^3/a 8p^2 8pa,

(x1-x2)^2=(y1^2-y2^2)^2/(4p^2)=p^4/a^2 4p^3/a 4p^2，【这是把两点的距离公式给拆散了，否则式子也太复杂了】

记法线被抛物线所截线段的长的平方为D，则【距离的平方最小，距离自然也最小】

D(a)=2p^3/a 8p^2 8pa p^4/a^2 4p^3/a 4p^2=(8pa^3 12p^2a^2 6p^3a p^4)/a^2,

当D’=2p(4a^3-3p^2a-p^3)/a^3，即2p(a-p)(2a p)^2=0时【因式分解的过程也是一大难点】

解得：a=p或a=-p/2(舍去)，【a不可能和p异号，题目并没有交代p>0，不过默认p是大于0的】

当a<p时，D’<0；当a>p时，D’>0,

a=p是D(a)唯一的极(小)值点，∴D(p)最小. 【连续函数有唯一的极值点，那么这个极值点就是最值点】

∴抛物线在(p, ±根号2 p)的法线被抛物线所截线段最短.

如果p<0，或当p>0时，y^2=-2px，由函数的对称性，也会有相同的结论，如下图：

大家现在对着答案理解，自然觉得不是很难，但你可知道，在解这道题的过程中，老黄尝试了多少次错误吗？