一种半球谐振子关键参数辨识算法（振幅-频率关联导致耦合振子系统中的一阶爆炸相变）

耦合振子系统中的一阶相变因其不连续性和不可逆性而得到了广泛的研究。在以往的研究中，通过设计振子模型中动力学项与耦合项的关联可以导致一阶相变的稳定发生。在本研究中，我们提出了一种新的关联机制，即全连通网络中的振子的固有频率与其固有振幅之间存在反比关系，而它们的耦合是同质的。基于两种经典振子模型，庞加莱模型和斯图尔特-朗道模型，我们观察到了稳定的一阶相变（爆炸振荡死亡），且它的出现与频率分布无关。因此，研究结果表明，一阶相变可以由频率-幅度相关性诱导，它为理解耦合振子中的爆炸现象提供了一种新颖的视角。

研究领域：一阶相变，爆炸振荡死亡，振幅效应，庞加莱模型，斯图尔特-朗道模型

论文题目：Frequency-Amplitude Correlation Inducing First-order Phase Transition in Coupled Oscillators

论文作者：王降圣，顾长贵，纪鹏

论文链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/ac8016

自然界每天都在表现出相变，即当系统的一个控制变量发生最小变化时，系统会急剧改变其一个或多个物理特性的过程，例如：冰融化成水、铁磁转变等。一个广泛的认知是，相变可以被分为两大类：一阶和二阶。前者描述那些涉及潜热的相变，表现在不连续、不可逆，例如水的沸腾、或过冷和过热的转变。后者则指的是那些连续且可逆的相变，通常描述铁磁转变、超导转变和超流体转变的过程。最近，非线性动力学和复杂网络领域的一阶相变引起了广泛关注，其中爆炸渗流（explosive percolation, EP）、爆炸同步（explosive synchronization, ES）和爆炸死亡（explosive death, ED）是三个典型的现象。它们的产生机制被认为是有关联的，一般都会要求系统满足特殊的演化规则或者参数设计[1]。

爆炸振荡死亡（explosive oscillation death, EOD），作为ED的一种，首次在频率加权耦合下的斯图亚特-朗道振子（Stuart-Landau oscillators，SL振子）中被发现，它表现在所有振子在跃迁发生后突然稳定在不同的不动点。紧接着，爆炸振幅死亡（explosive amplitude death, EAD）作为另一种ED，在间接耦合的SL振子中也被发现，它表现在所有振子在跃迁发生后突然稳定在相同的不动点上。在此之后，ED也出现在其他满足特殊耦合机制的系统中，例如：平均场扩散、共轭变量耦合、群体感应和状态空间相关的动态相互作用等[2]。

这里，我们提出了一种新的机制，即要求均匀耦合振子中的固有频率和固有振幅之间存在反比关系，它被称作：“Frequency-Amplitude Correlation”（振幅-频率关联）[3]。以Poincaré模型为例（Eq.1），A代表固有振幅，ω代表固有频率，g是耦合强度，γ是振幅松弛率，各参数下标j代表第j个振子。在没有耦合的情况下，单个振子在x-y平面上依固有振幅（半径）和固有频率转动。

对于每一个处于全连通网络下的振子有

，我们考虑了如下的参数关联（Eq. 2）。

随着g的绝热变化，当

时，系统出现EOD，而

时，系统表现出连续相变。

这里，ωj分别假设服从均匀分布、高斯分布、瑞利分布，且考虑了

与

的情况，我们发现EOD均会稳定出现。

除此之外，相同的结果也在Stuart-Landau模型上被验证。

图1. 在庞加莱模型中，当ωj分别服从四种不同分布时，振子系统的宏观序参量随耦合强度的演化，这里

引用自参考文献[3]的正文。

本文的工作具有如下四个亮点。

1. 该机制考虑了振子的固有频率和固有振幅之间的相关性，这在以前的模型中没有考虑过。

2. 该机制不再强调耦合关系的异质性，而是振子固有振幅的异质性。尽管在有限系统尺寸的均匀耦合Kuramoto振子中有类似的结论，但这是第一次在均匀耦合的含振幅系统中研究一阶相变，因此我们的机制放宽了 EOD 出现的条件。

3. 该机制下的相变点可以根据系统的平均振幅而变化。事实上，我们还在负相关关系（A=-αω c）下，也发现了一阶相变的可能性。通过控制斜率系数α，相变的类型会从不连续变为连续。这意味着我们可以通过调节振子的固有振幅来控制爆炸跃迁的出现。

4. 该机制可以诱导在固有频率分布服从均匀分布和瑞利分布下的EOD，这说明我们的工作与之前工作存在不同，也说明在考虑振幅高度异质时，系统会涌现丰富的集体行为。

图2.

在庞加莱模型中，如果满足Aj=-αωj c，对于不同的α，振子系统的宏观序参量的演化，c是保证Aj＞0的常数，这里取c=max|-αωj|。可以发现，随着α的增大，相变类型从二阶转变为一阶相变。引用自参考文献[3]的补充材料。

在实际的生物网络中，生物成分的活动和反应并不完全相同，表现在个体生物振子的振荡频率和振幅存在显著差异，例如视交叉上核中的神经元的差异性等。另外，在已知的研究表明，在半脑慢波睡眠期间，大脑的两个半球会各自表现出低幅度-高频率节律和高幅度-低频率节律，它可以被非线性动力学中的奇美拉态所解释，这也被证明与爆炸现象相关。在大脑皮层网络中，较快节律活动的幅度通常低于较慢节律的幅度，这与正常脑电图 (ECoGs) 中的经验逆幂关系一致。因此，我们的工作可能对理解生物钟或者半脑睡眠现象有帮助。本文受到集智俱乐部高阶网络读书会的启发，并期待未来拓展到高阶网络的应用中。

王降圣 | 作者

邓一雪 | 编辑

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