物理测量乒乓球直径的示意图（乒乓球物理参数试算）

本帖系笔者原创作品，于2018年3月发表在“乒乓网”《乒乓球物理参数的数量级估算》。现进行了部分补充、修改，重新发表，供球友参考。笔者把能找到的公式都找了，会算的都算了一下。计算过程尽量详细以方便球友，其中错漏应该不会少。发出来和球友讨论，请各位老师、专家批评。

感兴趣的球友可以把计算结果和推论跟自己的打球实践对照一下，看看有哪些与实际相符，哪些与经验相悖。不管怎么说，对自己热爱的乒乓球运动做到心中有数，多少还是有点好处的。

欢迎批评、指正。

1 基础数据

（1）球拍

球拍质量 200克，

底板 长 16cm,宽 15cm，厚 6-10mm，面积约 16*15 = 240cm^2

套胶 双面反胶，每面海绵、胶皮各厚2毫米

（2）乒乓球 40

质量 m = 2.7 g,

直径 D = 40 mm,

半径 r = 20 mm,

转动惯量（球壳）

I = 2/3* mr^2= 2/3*0.0027*0.02*0.02 = 0.00000072 kgm^2

球壳圆周长 = 2pi*r = 2*3.14*0.02 = 0.1256m = 12.56cm

最大圆截面积 S = πr^2 = 3.14*0.02*0.02 = 0.001256m^2 = 12.56cm^2

球表面积 S = 4πr2 = 4*3.14*0.02*0.02 = 0.005024m^2 = 50.24cm^2

球冠面积S=2πRh， S =π(r^2 h^2)。

（球半径是 R，球冠底面圆的半径是 r，球冠的高是 h）

球体积 V = 4/3*πr^3 = 4/3*3.14*0.02^3 = 0.0000335 m^3 = 33.5 cm^3

密度 ρ= m/V = 0.0027/0.0000335 = 80.6 kg/m^3

(对比密度 水ρ= 1000 kg/m^3 ，空气ρ= 1.29 kg/m^3 )

乒乓球与球拍质量比为1.35% ,若加上握拍手的部分质量，此比当在1%以下。

2 假设击球条件为：

球拍：拍速15米每秒，拍型前倾60度，挥拍方向45度，二者夹角15度。

来球：球速16米，上旋转80转每秒。水平方向0度（最高点击球）

出球：球速20米，上旋转100转每秒，30度。

击球时间1毫秒

击球者基础力量（卧推力）

王励勤130公斤，一般运动员70公斤，普通人60公斤以下

3 作用在乒乓球上各种力的估算

(1) 重力（方向向下）

G = mg = 0.0027*10 = 0.027牛 = 0.027 kgm/s^2

(2) 空气浮力（方向向上）

f = ρgV = 1.29*10 *(4/3*3.14*0.02^3 ) = 0.000432 牛

以上两个是恒力，方向相反，重力约为浮力的63倍,浮力相当于抵消了1/63的重力。

(3) 空气阻力（方向与球速反向） 假设球飞行速度20m

fd = 1/2*CdρAv^2

= 0.5*0.5*1.29*(3.14*0.02*0.02)*20*20 = 0.162 N

（Cd为空气阻力系数，与空气流的雷诺数 Re=ρvD/μ的大小相关。空气动力粘滞系数μ取值1.85 *10^-5Pas。

Re =ρvD/μ= 1.29*20*0.04/(1.85 *10-5) = 55784）

(4) 空气的玛格努斯力（方向与球速垂直） 假设球飞行速度20m , 转速100r

fm = 1/2*Cl*ρ*Av^2 = 1/2*Cs*ρA*rωv

= 1/2*Cs*ρ*(pi*r^2)*r*(2pi*f)*v

= 0.5*1.23*1.29*(3.14*0.02*0.02*0.02)*( 2*3.14*100)*20 = 0.25 N

(5) 球拍击球力（方向在出球方向与摩擦方向之间）

约为100牛顿数量级。

以上数据表明：

乒乓球所受重力约为击球力的万分之三，浮力为百万分之四。空气阻力与玛格努斯力约为击球力的千分之二。

所以，在击球瞬间，以上四个力都可以忽略而不会引起太大误差。而在乒乓球飞行途中的受力分析中，击球力已经不存在了，重力、空气阻力、玛格努斯力三者都上升为主要因素，不可忽略（如果要考虑浮力，可以从重力中扣除1/63，相当于重力加速度G从9.8降为9.64。）。与球速反向的空气阻力受球速影响最大，横向的玛格努斯力和球速、转速都有密切关系。相较方向、大小不变的重力而言，后两种空气作用力特别复杂多变,是影响乒乓球飞行轨迹预测的难点和重点所在。据说还有一种可能的“逆玛格努斯力”值得注意。即球在临界速度前后，边界层气流的非对称分布，可能导致球飞行时左右晃动、轨迹摇摆不定的“飘球”产生。

3 乒乓球飞行过程数据

（1） 平动数据（假设出球球速20米）

飞行速度 20米每秒

动量 P = mv = 0.0027*20 = 0.054 kgm/s(Ns)

动能 Ek= 1/2*mv^2 = 0.5*0.0027*20*20 = 0.54 J

（2）转动数据（假设出球转速100转）

旋转转速或频率(转每秒)f = 100 r/s

旋转角速度(弧度每秒)

ω= 2πf = 2*3.14*100 = 628 rad/s

旋转线速度

v =ωr =628*0.02 = 12.56m/s

乒乓球转动惯量（球壳）

I = 2/3*mr^2 =2/3*0.0027*0.02*0.02 = 0.00000072 kgm^2

角动量

L = I ω = 0.00000072*2*3.14*100

= 0.00000072*628 = 0.00045 kgm^2／s 或Nms

转动动能

Er = 1/2·I ω^2 = 1/2·(2/3×0.0027×0.02×0.02)*(2*3.14*100)2

= 0.5×0.00000072*628*628 =0.142 J

乒乓球总动能 Ek = Et Er = 1/2 mv2 1/2 Jω2 = 0.54 0.142 = 0.682 焦耳

从以上计算可以看出，球速10米的平动动能与转速97转的转动动能数值基本相等，均约为 0.135焦耳。本假设20米球速与100转转速的动能之比约为4比1。因为平动与转动在速度、方向、力量、力矩、转动惯量、加速度等方面的直接比较有一定困难，以往的研究对此关注甚少，几为空白。其实，击球力量如何在出球的平动和转动之间合理分配值得关注。

建议增加一个新名词----“平/转比”。以动能之比对乒乓球两种最重要的运动形式进行直接比较。此值可以帮助我们更好理解击球时的平动与转动的关系。从此值大小也可以让我们对球的运动状态有较全面的了解，一目了然。物理量“平/转比”与击球术语打摩比有几分关系，但其优点是可以定量计算，而打摩比只能停留在凭感觉定性估计的水平。另外，打摩比指的是击球动作在击打与摩擦之间的比例控制，着眼点是击球者的分寸把握；“平/转比”指的是球的平动与转动动能之比，着眼点是乒乓球的运动状态，是打摩的实际效果。

4 击球瞬间（1毫秒）各物理量的参考值

(1) 球拍挥动距离 15*0.001 = 0.015米 = 15毫米

(2) 乒乓球飞行距离 20*0.001 =0.02米 = 20毫米

(3)击球全程球的平均加速度（假设对心弹性碰撞）

a=(vt-v0)/t =(20-(-16))/0.001 = 36000m/s^2

(4) 球对拍的冲击力或球拍的击球力（假设对心弹性碰撞）

F=ma=0.0027*36000=97.2牛（kgm/s^2）

(5) 冲量 （假设对心弹性碰撞）

FΔt=m(vt-v0)=0.0027*(20-(-16))=0.0972Ns

(6) 击球全程平均角加速度（假设偏心斜碰撞）

β =(ωt-ω0)/t=(2*3.14*100- -2*3.14*80)/0.001 = 1130400 = 113万rad/s^2

假设套胶压缩AB期耗时0.3ms，假设套胶反弹BC期耗时0.7ms，反拉弧圈。

(7)套胶压缩AB期乒乓球转动角度(ω取平均值)

θ=ωt = - 360f t /2 =-360*80*0.0003*0.5 = - 4.32度

(8)套胶压缩AB期乒乓球平均加速度

a1=(vt-v0)/t=(0- -16)/0.0003 = 53333 = 5.33万m/s^2

(9)套胶压缩AB期乒乓球平均受力

F1 = ma1 = 0.0027*53333= 144N

(10)套胶压缩AB期乒乓球平均角加速度

β1 =(ωt-ω0)/t= (0--2*3.14*80)/0.0003 = 1674667 = 167.5万rad/s^2

(11)套胶压缩AB期乒乓球平均受转动力矩（扭矩）

M1 = Iβ = I*dω/dt = 0.00000072*1674667 = 1.2 kgm^2rad/s^2or Nm

= FL =N/ω

(12)套胶反弹期BC乒乓球滚动角度(ω取平均值)

θ=ωt= 360f t/2 =360*100*0.0007*0.5 = 12.6度

(13)套胶反弹期BC乒乓球平均加速度

a2 =(vt-v0)/t=(20- 0)/ 0.0007= 28571 = 2.86万m/s^2

(14)套胶反弹期BC乒乓球平均受力

F2 = ma2 = 0.0027*28571= 77.1N

(15)套胶压缩AB期乒乓球平均角加速度

β2 =(ωt-ω0)/t= (2*3.14*100-0)/0.0007= 897143 = 89.7万rad/s^2

(16)套胶压缩AB期乒乓球平均受转动力矩

M2 = Iβ2 = I*dω/dt = 0.00000072*897143 = 0.65 Nm

(17)击球瞬间的球拍转动角度（假设在0.1秒钟内转动90度）

90*0.01=0.9度

重力势能 Ep = 0 (击球时不考虑重力)

球拍储藏的最大弹性势能 Ep = 1/2*kx2 ，估计小于来球与球拍总动能之和，大于出球总动能。

以上乒乓球旋转角度可以和笔者前文《击球时乒乓球贴紧拍面的运动形态及受力（续）》中的边转边滑、边滚边滑运动形态联系起来看。实际击球过程球拍能转动的角度很有限，估计会小于0.9度，但其影响可能不会小。这个角度和内弧、外弧，压拍、亮拍，包球、舔球以及击球打摩之争关系较大。

乒乓球在AB期和BC期的受力等计算值差距较大，部分原因是临界点B点的时间设置为0.3毫秒：0.7毫秒所致。

5 球/拍接触空间尺寸估算

（1）球冠表面积公式 S = 2πRh

（2）接触区域形状

静态接触面为一球冠面，动态接触面为球体在拍面上留下的压痕面，系由浅入深再到浅的横截面为圆弧形的沟状椭圆弧面。

（3）接触区域尺寸

长宽深度约为 15 *12*1 毫米

（4）静态接触面面积（球冠面）

S = S =2πRh = 2*3.14*0.02*0.001 = 0.0001256m^2 = 1.256cm^2

若乒乓球体陷入胶皮海绵深度为1、2、3、4毫米，

则接触面面积分别为1.256、2.51、3.77、5.02平方厘米。

接触面底面直径分别为1.25、1.74、2.11、2.4厘米。

球拍击球的作用力是一个接触力，一旦脱离接触便为零。该作用力还是一个面力，球拍对球所有的击打、摩擦力都是通过这个弹性接触面在千分之一秒的瞬间传递的。该接触面形状复杂且不断变化，面上各点的力处处、时时都不相同。

以上计算都是假设拍型角度不变，直线挥拍方向不变，匀速挥拍不受击球影响而变化。一旦击球条件变化，情况更为复杂，计算更为困难。以上估算数据，希望球友详加考察，谨慎使用。对的可作参考，错的及时指正，以免以讹传讹，误导入门者。

本帖计算式均采用国际单位制（SI）。

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