有关多边形周长和面积的题（不用微积分改用洋葱和千层饼来说明圆的面积公式）

一个有意思的发现：你周围一定能找到一个喝水的大玻璃杯，凭着眼睛的观察，可以判断出玻璃杯的高度和周长哪个更长一些么？

不少人和我一样，都直觉地会认为高度大于周长。

但实际情况是周长大于高度。

这是一个有趣的π欺骗了人眼睛的事实。

有朋友还是心存疑虑，那么可以找把软尺进行测量

你说没有尺子，那你伸出中指（别想歪了，我没有那么坏和无聊）和拇指，测一下杯子直径。

一般来讲杯子的高度不到直径的3倍。

为什么是拿3来说事情呢？

因为π的值大约是3.14，而周长也就是直径的3倍多了。这样去比较是比较直观的。

视觉错误，人的眼睛在估算圆的周长时会出现这样的错误。

在圆中，周长是直径的2倍，而π的值竟然是和圆的大小无关的一个量。

来自于圆，值又和圆无关，天哪，圆养了一个不认自己的亲儿子！圆肯定很生气。

知道圆的周长后，一般就会有一个老师曾经让我们一定要记下来的圆面积公式

当时大多数人朋友应该和我一样，属于死记硬背搞下来了，毕竟不怎么复杂的公式。

如果当时老师给出一些这个公式成立的理由，也许会让学习的效果会提升不少，也可能觉得数学会有意思很多。

这个公式不是需要微积分才能搞得明白它的证明么？

不要微积分，试下说明圆的面积，还需要让人信服！当然这些智慧不是来自于我，都是很多前辈们的努力和思考的结晶。我只是把它们搬运来，将这个精彩呈现的给大家，希望大家能够由此看出数学的魅力，能够喜欢这个学科。

证明：下图1示，把圆堪称一系列同心环，如下图按红色的方向，从顶部向下切割这个圆，一直切至圆心处。

图1

然后将它展开，形成一个类似三角形的图形，如下图2

图2

上面这个三角形的底是（圆的周长），高是.随着同心环的数量不断增加，切开的圆与三角形越来越接近。

所以圆的面积为：

该证明的方法是把圆看成一个洋葱。

随着等分的数量不断增加，每等分的形状与高为r的三角形越来越接近，让最后的图形更像的矩形，因此圆的面积近似地得到为：